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Analisi a più variabili · Rotore

Rotore

Il rotore di un campo vettoriale piano, ∂Q/∂x − ∂P/∂y, è il doppio della velocità di rotazione di una piccola ruota a pale ideale nel flusso. Metti una ruota in un flusso rettilineo e osservala girare; lasciala andare attorno a un vortice e scopri che non ruota mai su sé stessa.

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Il rotore in questa visualizzazione

Il rotore di un campo vettoriale piano F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) è il numero seguente, detto anche rotore scalare; è la terza componente del ∇×F\nabla\times\mathbf F tridimensionale. È la densità di circuitazione: la circuitazione attorno a un piccolo circuito centrato in un punto, in senso antiorario, divisa per l’area racchiusa, quando il circuito si restringe al punto. Entrambe le definizioni valgono dove F è di classe C¹.

Rotore come derivata e come limite
curl⁡F=∂Q∂x−∂P∂y=lim⁡r→01πr2∮F⋅T ds\operatorname{curl}\mathbf F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

Le tacche gialle sono la componente del flusso lungo il bordo, F·T; il loro integrale Γ è la circuitazione del bordo e Γ/(2πr²) la sua velocità angolare media. Tende a metà del rotore per r → 0 ed è uguale a essa per ogni r quando il rotore è una funzione lineare. La ruota stessa è la piccola ruota ideale di un flusso regolare: gira a ω=12curl⁡F(P)\omega = \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F(P), la media delle velocità a cui due elementi lineari perpendicolari per P ruotano in quell’istante — quello orizzontale a ∂Q/∂x, quello verticale a −∂P/∂y (la croce). Nessuno dei due, preso da solo, deve necessariamente ruotare a ω: nel flusso di scorrimento (y, 0), quello verticale ruota a −1 e quello orizzontale non ruota affatto.

Deriva lascia che la ruota segua il flusso. In ogni punto attraversato gira a metà del rotore locale, quindi la rotazione totale è θ=∫12curl⁡F dt\theta = \int \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F\,dt lungo il percorso; un segno ogni mezza unità di tempo ne registra l’orientamento. Nel vortice (−y, x)/(x² + y²) il rotore è 0 ovunque tranne nell’origine, dove F non è definito, e una ruota che gira attorno all’origine ritorna con θ = 0: il flusso curvo la farebbe ruotare in senso antiorario, l’acqua più veloce sul lato interno in senso orario e i due effetti si annullano.

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Cosa osservare

  • Teorema di Green (forma di circuitazione): ∮∂DF⋅T ds\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds lungo il bordo di una regione D, percorso in senso antiorario, è uguale a ∬Dcurl⁡F dA\iint_D \operatorname{curl}\mathbf F\,dA quando F è di classe C¹ su un aperto contenente D. Nel circuito, la circuitazione lungo un bordo interno condiviso contribuisce una volta a ciascuna delle due celle, con orientamenti opposti, quindi le circuitazioni delle celle sommano a quella esterna e ciascuna è circa rotore × area. Il circuito somma il rotore nel centro di ogni cella moltiplicato per la sua area: una somma dei punti medi, esatta quando il rotore è lineare e, altrimenti, sempre più vicina a Γ al restringersi delle celle.
  • Linee di flusso rette possono avere rotore (lo scorrimento, il canale) e linee circolari possono non averlo (il vortice). Un circuito attorno al centro del vortice ha circuitazione 2π anche se il rotore è 0 ovunque altrove al suo interno: lì il teorema non si applica perché F non è definito nel centro (la scala a chiocciola della pagina Integrale di linea). Le tacche mostrano solo la componente lungo il bordo; quella che lo attraversa riguarda la divergenza. In tre dimensioni il rotore è un vettore e il teorema diventa quello di Stokes.
  • Il rotore viene da derivate simboliche e «=» indica un valore esatto. La circuitazione è in forma chiusa per gli esempi predefiniti e viene calcolata per integrazione numerica con stima dell’errore per i campi digitati; la deriva è in forma chiusa per gli esempi tranne quello cubico, altrimenti è integrata numericamente. I segni sono campioni ogni mezza unità di tempo: una ruota che compie un giro intero tra due segni sembra ferma nei segni, mentre θ conta ogni giro. Le particelle di sfondo mostrano solo dove va il flusso; il loro addensamento non significa nulla.
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Comandi

  • Trascina il centro P della ruota (si aggancia al reticolo delle frecce) o il bordo (si aggancia a ½, 1, 2 …), oppure digita i valori: P da −100 a 100, r da 0.001 a 100. Trascina altrove per spostare la vista; usa i pulsanti della vista per lo zoom. Scegli Ruota oppure Circuito quadrato per osservare il campo. Il circuito ha semilato r e un numero regolabile di celle. Deriva avvia, sospende o riprende la stessa esecuzione in modalità Ruota. La ruota continua a muoversi fuori dall’immagine. Dopo una pausa, spostarne il centro imposta un nuovo punto di partenza e la mantiene ferma finché non premi Deriva. Torna alla partenza ripristina posizione e orientamento di partenza e azzera tempo, rotazione e traccia dell’esecuzione. Digita P e Q con + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
  • Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori: Spazio avvia o sospende la deriva della ruota, ← e → raddoppiano o dimezzano il bordo, H nasconde come gira la ruota. Condividi copia un link che riapre campo, ruota e vista.
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Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Curl (mathematics) (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Inglese); Wikipedia: Green's theorem (Inglese).