Math

Analisi a più variabili · Campo vettoriale

Campo vettoriale

Un campo vettoriale associa una freccia F(x, y) = (P, Q) a ogni punto del proprio dominio; letta come velocità, trasporta ogni cosa. Deposita inchiostro e osserva le gocce viaggiare, ruotare, deformarsi e allungarsi.

01

I campi vettoriali in questa visualizzazione

Un campo vettoriale nel piano associa a ogni punto (x,y)(x, y) del dominio un vettore F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y)). Interpretato come campo di velocità, muove ogni punto: una particella obbedisce al sistema autonomo seguente e il suo percorso è una curva integrale (una linea di flusso) del campo. Questa pagina disegna il campo, vi trasporta inchiostro e particelle e calcola F ovunque posizioni la sonda.

Una particella nel campo
x′(t)=P(x,y),y′(t)=Q(x,y)x'(t) = P(x, y), \qquad y'(t) = Q(x, y)

Una freccia è soltanto la velocità in quell’istante, quindi una particella non segue una freccia diritta ma una curva tangente alle frecce ovunque: nel campo di rotazione (−y,x)(-y, x), la freccia in (1, 0) punta verticalmente in alto, ma il centro della goccia percorre la circonferenza unitaria. Le frecce del reticolo condividono una scala, scritta sotto l’immagine (alcune più lunghe sono troncate e portano una barra); la freccia della sonda è F(P) a lunghezza reale, con le componenti P e Q tratteggiate.

Una piccola goccia d’inchiostro mostra la struttura del campo vicino a un punto. Al primo ordine è trasportata da F nel suo centro e deformata dalla matrice delle derivate del campo: la sua area cresce al tasso relativo div⁡F\operatorname{div}\mathbf F (per una goccia di dimensioni finite, la media della divergenza su di essa), i suoi elementi lineari infinitesimi ruotano in media a 12curl⁡F\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F e il resto è scorrimento e dilatazione, che nessuno dei due numeri descrive. I due diametri lo mostrano: nel campo di scorrimento uno si inclina di 45° entro t = 1, mentre l’altro resta orizzontale.

02

Cosa osservare

  • Le particelle di sfondo rinascono in posizioni casuali, quindi il loro addensamento non significa nulla; per vedere l’espansione osserva l’area di una goccia (divergenza, E25). Le loro brevi code sfumano e non sono linee di flusso — queste hanno un tasto separato.
  • Ogni goccia parte da t = 0 quando viene depositata; i valori seguono l’ultima goccia posata. Avanti aumenta t, Indietro lo diminuisce ed entrambi possono attraversare 0. Puoi depositare inchiostro durante il flusso in entrambe le direzioni. Il tempo negativo segue lo stesso campo all’indietro dal cerchio iniziale; non richiede un passato registrato. I cinque esempi lineari usano l’esponenziale di matrice; il pendolo e i campi digitati usano integrazione numerica con controllo dell’errore. La reversibilità richiede soluzioni uniche esistenti per tutto il percorso e i punti che si sono fermati non possono essere recuperati.
  • Le gocce si fermano quando escono dall’area calcolata, dove il campo diverge o non ha valore; il contorno si interrompe e la goccia perde il riempimento. I campi qui sono bidimensionali e non cambiano nel tempo.
03

Comandi

  • Fai clic sull’immagine per depositare inchiostro oppure trascina per una serie di gocce (al massimo tre). Con Sposta vista attivo, trascinare muove la vista. Trascina P oppure digita le coordinate (da −100 a 100); si aggancia al reticolo delle frecce. Digita P e Q con + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
  • Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori: Spazio avvia o ferma il flusso, → e ← ne impostano la direzione, H nasconde il valore di F nella sonda. Condividi copia un link che riapre campo, sonda e inchiostro al loro tempo.
04

Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Vector field (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.1 Vector Fields (Inglese).