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Analyse à plusieurs variables · Champ de vecteurs

Champ de vecteurs

Un champ de vecteurs associe une flèche F(x, y) = (P, Q) à chaque point de son domaine ; interprétée comme une vitesse, elle entraîne tout. Déposez-y de l’encre et observez les gouttes se déplacer, tourner, se cisailler et s’étirer.

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Les champs de vecteurs dans cette visualisation

Un champ de vecteurs du plan associe à chaque point (x,y)(x, y) de son domaine un vecteur F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y)). Interprété comme un champ de vitesses, il entraîne chaque point : une particule obéit au système autonome ci-dessous, et sa trajectoire est une courbe intégrale (une ligne de courant) du champ. Cette page trace le champ, y entraîne de l’encre et des particules, et calcule F là où vous placez la sonde.

Une particule dans le champ
x′(t)=P(x,y),y′(t)=Q(x,y)x'(t) = P(x, y), \qquad y'(t) = Q(x, y)

Une flèche ne donne que la vitesse à cet instant : une particule ne suit donc pas une flèche en ligne droite, mais une courbe partout tangente aux flèches. Dans le champ de rotation (−y,x)(-y, x), la flèche en (1, 0) pointe droit vers le haut, mais le centre de la goutte décrit le cercle unité. Les flèches de la grille ont une échelle commune, indiquée sous la figure (quelques flèches plus longues sont tronquées et marquées d’une barre) ; celle de la sonde représente F(P) à sa longueur réelle, avec ses composantes P et Q en pointillés.

Une petite goutte d’encre montre la structure du champ près d’un point. Au premier ordre, elle est transportée par F en son centre et déformée par la matrice des dérivées du champ : son aire croît au taux relatif div⁡F\operatorname{div}\mathbf F (pour une goutte de taille finie, la moyenne de la divergence sur la goutte), ses éléments de ligne infinitésimaux tournent en moyenne à 12curl⁡F\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F, et il reste le cisaillement et l’étirement, que ni l’un ni l’autre de ces nombres ne décrit. Les deux diamètres le montrent : dans le champ de cisaillement, l’un s’incline de 45° à t = 1 tandis que l’autre reste horizontal.

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À observer

  • Les particules de fond réapparaissent en des lieux aléatoires : leur concentration n’a donc aucune signification. Pour voir l’expansion, observez l’aire d’une goutte (divergence, E25). Leurs courtes traînées s’estompent et ne sont pas des lignes de courant — celles-ci ont une touche distincte.
  • Chaque goutte démarre à t = 0 lors de son dépôt ; l’affichage suit la dernière goutte déposée. En avant augmente t, En arrière le diminue, et les deux sens peuvent franchir 0. Vous pouvez déposer de l’encre pendant l’écoulement dans les deux sens. Le temps négatif suit le même champ à rebours depuis le cercle initial ; il ne demande aucun passé enregistré. Les cinq champs linéaires proposés utilisent l’exponentielle de matrice ; le pendule et les champs saisis utilisent une intégration numérique avec contrôle de l’erreur. La réversibilité exige des solutions uniques qui existent sur tout l’intervalle, et les points qui se sont arrêtés ne peuvent pas être récupérés.
  • Les gouttes s’arrêtent lorsqu’elles quittent la zone calculée, là où le champ devient infini ou n’a pas de valeur ; le contour s’y interrompt et le remplissage disparaît. Les champs présentés sont bidimensionnels et ne dépendent pas du temps.
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Commandes

  • Cliquez dans la figure pour déposer de l’encre, ou faites glisser pour déposer une suite de gouttes (trois au maximum). Avec Déplacer la vue, le glissement déplace la vue. Faites glisser P, ou saisissez ses coordonnées (de −100 à 100) ; il s’accroche à la grille des flèches. Saisissez P et Q avec + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
  • Le Mode présentation ouvre une vue plein écran pour la projection : Espace lance ou arrête l’écoulement, → et ← en règlent le sens, H masque la valeur de F à la sonde. Partager copie un lien qui rouvre le champ, la sonde et l’encre à leur instant.
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Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Vector field (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.1 Vector Fields (Anglais).