Math

Cálculo multivariable · Campo vectorial

Campo vectorial

Un campo vectorial asigna una flecha F(x, y) = (P, Q) a cada punto de su dominio; interpretado como velocidad, lo transporta todo. Suelta tinta en él y observa cómo las gotas se desplazan, giran, se cizallan y se estiran.

01

Los campos vectoriales en esta visualización

Un campo vectorial en el plano asigna a cada punto (x,y)(x, y) de su dominio un vector F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y)). Interpretado como un campo de velocidades, mueve cada punto: una partícula obedece el sistema autónomo siguiente y su trayectoria es una curva integral (una línea de corriente o línea de flujo) del campo. Esta página dibuja el campo, transporta tinta y partículas siguiendo su flujo y evalúa F donde coloques la sonda.

Una partícula en el campo
x′(t)=P(x,y),y′(t)=Q(x,y)x'(t) = P(x, y), \qquad y'(t) = Q(x, y)

Una flecha solo representa la velocidad en ese instante, por lo que una partícula no sigue una flecha recta, sino una curva tangente a las flechas en todos sus puntos: en el campo de rotación (−y,x)(-y, x), la flecha en (1, 0) apunta verticalmente hacia arriba, pero el centro de la gota recorre la circunferencia unidad. Las flechas de la cuadrícula comparten una escala, indicada debajo del dibujo (algunas más largas se acortan y llevan una barra); la flecha de la sonda es F(P) a longitud real, con sus componentes P y Q discontinuas.

Una pequeña gota de tinta muestra la estructura del campo cerca de un punto. A primer orden, F en su centro la transporta y la matriz de derivadas del campo la deforma: su área crece a la tasa relativa div⁡F\operatorname{div}\mathbf F (para una gota de tamaño finito, el promedio de la divergencia sobre ella), sus elementos de línea infinitesimales giran en promedio a 12curl⁡F\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F, y el resto es cizallamiento y estiramiento, que ninguna de esas dos cantidades describe. Los dos diámetros lo muestran: en el campo de cizallamiento, uno se inclina 45° en t = 1 mientras el otro sigue horizontal.

02

En qué fijarse

  • Las partículas del fondo reaparecen en lugares aleatorios, por lo que su concentración no significa nada; para ver la expansión, observa el área de una gota (divergencia, E25). Sus pequeñas estelas se desvanecen y no son líneas de corriente; estas tienen una tecla aparte.
  • Cada gota empieza en t = 0 al colocarla; la lectura sigue a la última gota colocada. Adelante aumenta t, Atrás lo reduce, y ambos pueden cruzar 0. Puedes soltar tinta mientras fluye en cualquier sentido. El tiempo negativo sigue el mismo campo hacia atrás desde el círculo inicial; no necesita un pasado registrado. Los cinco campos lineales predefinidos usan la exponencial matricial; el péndulo y los campos escritos usan integración numérica con control del error. La reversibilidad requiere soluciones únicas que existan durante todo el recorrido, y los puntos que se han detenido no pueden recuperarse.
  • Las gotas se detienen al salir del área calculada, donde el campo se hace infinito o no tiene valor; el contorno se interrumpe ahí y la gota pierde su relleno. Los campos de esta página son bidimensionales y no cambian con el tiempo.
03

Controles

  • Pulsa el dibujo para soltar tinta, o arrastra para dejar una hilera de gotas (tres como máximo). Con Desplazar activado, arrastrar mueve la vista. Arrastra P o escribe sus coordenadas (de −100 a 100); se ajusta a la cuadrícula de flechas. Escribe P y Q con + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
  • El Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores: Espacio inicia o detiene el flujo, → y ← fijan su sentido, H oculta el valor de F en la sonda. Compartir copia un enlace que vuelve a abrir el campo, la sonda y la tinta en su instante actual.
04

Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Vector field (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.1 Vector Fields (Inglés).