Math

Kalkulus Multivariabel · Medan vektor

Medan vektor

Medan vektor memasangkan panah F(x, y) = (P, Q) pada setiap titik domainnya; dibaca sebagai kecepatan, medan membawa semuanya bergerak. Teteskan tinta ke dalamnya dan amati tetesan bergerak, berputar, mengalami geseran, dan meregang.

01

Medan vektor dalam visualisasi ini

Medan vektor pada bidang memasangkan setiap titik (x,y)(x, y) domainnya dengan vektor F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y)). Dibaca sebagai medan kecepatan, medan menggerakkan setiap titik: partikel mengikuti sistem otonom di bawah, dan lintasannya adalah kurva integral (garis arus, atau garis aliran) medan. Halaman ini menggambar medan, membawa tinta dan partikel mengikutinya, serta menghitung F di mana pun probe diletakkan.

Partikel dalam medan
x′(t)=P(x,y),y′(t)=Q(x,y)x'(t) = P(x, y), \qquad y'(t) = Q(x, y)

Panah hanya menunjukkan kecepatan pada saat itu, sehingga partikel tidak dibawa sepanjang panah lurus melainkan sepanjang kurva yang menyinggung panah di mana-mana: dalam medan rotasi (−y,x)(-y, x), panah di (1, 0) menunjuk tegak ke atas, tetapi pusat tetesan mengelilingi lingkaran satuan. Panah kisi memakai satu skala, tertulis di bawah gambar (beberapa yang lebih panjang dibatasi dan diberi garis miring); panah probe adalah F(P) dengan panjang sebenarnya, dengan komponen P dan Q putus-putus.

Setetes kecil tinta menunjukkan struktur medan di dekat titik. Hingga orde pertama, tetesan dibawa oleh F di pusatnya dan dideformasi oleh matriks turunan medan: luasnya bertumbuh dengan laju relatif div⁡F\operatorname{div}\mathbf F (untuk tetesan berukuran berhingga, rata-rata divergensi di atasnya), unsur garis infinitesimalnya berputar rata-rata pada 12curl⁡F\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F, dan sisanya adalah geseran serta peregangan, yang tidak dijelaskan kedua angka itu. Dua diameter memperlihatkannya: dalam medan geser, satu miring 45° pada t = 1 sementara lainnya tetap mendatar.

02

Hal yang perlu diperhatikan

  • Partikel latar dilahirkan kembali pada tempat acak, sehingga kepadatannya tidak bermakna; untuk melihat pemuaian, amati luas tetesan (divergensi, E25). Jejak pendeknya memudar dan bukan garis arus — garis arus memiliki tombol tersendiri.
  • Setiap tetesan dimulai pada t = 0 saat diletakkan; bacaan mengikuti tetesan terakhir. Maju menambah t, mundur menguranginya, dan keduanya dapat melewati 0. Anda dapat meneteskan tinta saat aliran berjalan ke arah mana pun. Waktu negatif mengikuti medan yang sama ke belakang dari lingkaran awal; tidak membutuhkan rekaman masa lalu. Lima prasetel linear memakai eksponensial matriks; bandul dan medan yang diketik memakai integrasi numerik terkendali galat. Keterbalikan memerlukan solusi tunggal yang ada sepanjang waktu terkait, dan titik yang telah berhenti tidak dapat dipulihkan.
  • Tetesan berhenti saat keluar dari daerah perhitungan, saat medan membesar tanpa batas atau tidak memiliki nilai; tepi terputus di sana dan tetesan kehilangan isiannya. Medan di sini dua dimensi dan tidak berubah terhadap waktu.
03

Kontrol

  • Klik gambar untuk meneteskan tinta, atau seret untuk deretan tetesan (maksimal tiga). Saat Geser tampilan aktif, menyeret menggeser tampilan. Seret P, atau ketik koordinatnya (−100 sampai 100); P melekat pada kisi panah. Ketik P dan Q dengan + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
  • Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor: Spasi menjalankan atau menghentikan aliran, → dan ← menetapkan arahnya, H menyembunyikan nilai F pada probe. Bagikan menyalin tautan yang membuka kembali medan, probe, dan tinta pada waktunya.
04

Terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Vector field (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.1 Vector Fields (Bahasa Inggris).