Integral garis

Medan gaya $F$ mendorong benda yang bergerak sepanjang lintasan $C$ dari A ke B. Pada setiap langkah pendek sepanjang $ds$, hanya komponen gaya searah gerak yang melakukan usaha, $F\cdot T\,ds$, dengan $T$ sebagai vektor singgung satuan. Menjumlahkan bagian-bagian ini memberikan integral garis dari $F$ sepanjang $C$, yaitu usaha $W$.

Tanda kuning sepanjang lintasan menunjukkan $F\cdot T$: penuh dan mengarah ke depan ketika gaya membantu, kosong dan mengarah ke belakang ketika gaya menahan. Grafik di bawah tampilan menggambarkan $F\cdot T$ terhadap jarak $s$ yang ditempuh dari A. Jika luas berarsir di bawah sumbu dihitung negatif, luas hingga titik S merah adalah usaha sejauh ini, dan seluruh luasnya adalah $W$: integral garis telah menjadi integral biasa terhadap $s$.

Di S, gaya diuraikan menjadi komponen kuning sepanjang lintasan dan komponen pucat yang tegak lurus lintasan serta tidak melakukan usaha. Dalam medan radial $F = (x, y)$, pada lingkaran berjari-jari 2 berpusat di titik asal, gaya memiliki panjang 2 tetapi menunjuk langsung ke luar, sehingga $F\cdot T = 0$ dan $W = 0$. Usaha bukan sekadar besar gaya dikalikan panjang lintasan. Balik arah menelusuri lintasan yang sama secara terbalik, mengubah $T$ menjadi $-T$ dan $W$ menjadi $-W$.

Dalam medan gradien $F = \nabla\varphi$, aturan rantai menyatakan bahwa $F\cdot T\,ds$ adalah perubahan $\varphi$ selama satu langkah. Usaha hingga S adalah $\varphi(S) - \varphi(A)$; jika $\nabla\varphi$ kontinu, usaha sepanjang setiap lintasan mulus sepotong-sepotong hanya bergantung pada kedua ujung:

Garis kontur memperlihatkan alasannya tanpa rumus. Pilihan ini menggambar garis tempat $\varphi$ bernilai bulat. Dari satu garis naik ke garis berikutnya, $\varphi$ bertambah 1, sehingga lintasan yang menanjak di antaranya menghasilkan satu satuan usaha yang terkumpul secara mulus sepanjang jalan. Bagaimanapun lintasan berkelok, persilangan tambahannya selalu berpasangan, satu naik dan satu turun, lalu saling meniadakan. Jadi setiap lintasan dari A ke B melintasi jumlah bersih garis yang sama; jumlah itu, ditambah bagian pecahan satuan di kedua ujung, menghasilkan $\varphi(B) - \varphi(A)$.

Medan yang usahanya hanya bergantung pada kedua ujung lintasan disebut konservatif. Dalam medan seperti ini, usaha pada setiap lintasan tertutup nol karena lintasan berakhir di tempat ia bermula.

Medan rotasi $F = (-y, x)$ tidak memiliki potensial. Dari $(2, 0)$ ke $(-2, 0)$, pada setengah lingkaran atas berlaku $F\cdot T = 2$ sepanjang panjangnya $2\pi$, sehingga $W = 4\pi \approx 12.57$. Sepanjang sumbu x, gaya tegak lurus lintasan dan $W = 0$. Pergi melalui bagian atas lalu kembali melalui sumbu membentuk lintasan tertutup dengan usaha $4\pi$.

Tangga spiral $F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$ berada di antara kedua kasus tersebut. Curl-nya nol di mana pun medan terdefinisi, dan di sekitar setiap titik selain titik asal, medan ini adalah gradien sudut kutub $\theta$. Namun, tidak ada satu fungsi sudut yang berlaku sepanjang putaran penuh, karena satu putaran berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal menambah $2\pi$. Garis konturnya berupa sinar, dan usaha adalah perubahan $\theta$ yang diikuti secara kontinu sepanjang lintasan: $2\pi \approx 6.28$ untuk satu putaran berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal, dan 0 untuk lingkaran yang tidak melingkupinya.