Integrale di linea

Un campo di forze $F$ agisce su un oggetto che si muove lungo un percorso $C$ da A a B. In ogni piccolo passo di lunghezza $ds$, solo la componente della forza nel verso del moto compie lavoro, $F\cdot T\,ds$, dove $T$ è il versore tangente. Sommando questi contributi si ottiene l’integrale di linea di $F$ lungo $C$, il lavoro $W$.

Le tacche gialle lungo il percorso mostrano $F\cdot T$: piene e rivolte in avanti dove la forza aiuta, vuote e rivolte all’indietro dove frena. Il grafico sotto la vista traccia $F\cdot T$ in funzione della distanza $s$ percorsa da A. Contando come negativa l’area tratteggiata sotto l’asse, l’area fino al punto rosso S è il lavoro compiuto finora, e l’area totale è $W$: l’integrale di linea è diventato un integrale semplice in $s$.

In S, la forza si scompone in una componente gialla lungo il percorso e una tenue perpendicolare a esso, che non compie lavoro. Nel campo radiale $F = (x, y)$, sulla circonferenza di raggio 2 centrata nell’origine, la forza ha lunghezza 2 ma punta verso l’esterno, quindi $F\cdot T = 0$ e $W = 0$. Il lavoro non è il modulo della forza moltiplicato per la lunghezza del percorso. L’opzione Inverti percorre lo stesso cammino al contrario, trasformando $T$ in $-T$ e $W$ in $-W$.

In un campo gradiente $F = \nabla\varphi$, la regola della catena fa sì che $F\cdot T\,ds$ sia la variazione di $\varphi$ nel piccolo passo. Il lavoro fino a S è $\varphi(S) - \varphi(A)$ e, quando $\nabla\varphi$ è continuo, il lavoro lungo qualunque percorso liscio a tratti dipende solo dai suoi estremi:

L’opzione Curve di livello mostra il perché senza formule. Disegna le linee su cui $\varphi$ è un intero. Salendo da una linea alla successiva, $\varphi$ aumenta di 1, quindi un percorso che sale fra le due compie un’unità di lavoro, accumulata con continuità lungo il cammino. Per quanto il percorso si snodi, gli attraversamenti aggiuntivi arrivano a coppie, uno in salita e uno in discesa, e si annullano. Ogni percorso da A a B attraversa dunque lo stesso numero netto di linee; quel numero, con le frazioni di unità ai due estremi, dà $\varphi(B) - \varphi(A)$.

Un campo il cui lavoro dipende solo dagli estremi del percorso si dice conservativo. In un tale campo ogni percorso chiuso dà lavoro nullo, perché termina dove inizia.

Il campo di rotazione $F = (-y, x)$ non ha potenziale. Da $(2, 0)$ a $(-2, 0)$, la semicirconferenza superiore ha $F\cdot T = 2$ lungo tutta la sua lunghezza $2\pi$, quindi $W = 4\pi \approx 12.57$. Lungo l’asse x, la forza è perpendicolare al percorso e $W = 0$. Passare sopra e tornare lungo l’asse forma un percorso chiuso che compie un lavoro di $4\pi$.

La scala a chiocciola $F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$ è un caso intermedio. Il suo rotore è zero ovunque sia definita e, vicino a ogni punto diverso dall’origine, è il gradiente dell’angolo polare $\theta$. Ma nessun’unica funzione angolo vale per un giro completo, perché un giro antiorario intorno all’origine aggiunge $2\pi$. Le sue curve di livello sono semirette e il lavoro è la variazione di $\theta$ seguito lungo il percorso: $2\pi \approx 6.28$ per un giro antiorario intorno all’origine, e 0 su una circonferenza che non la racchiude.