線積分

力の場$F$が、AからBへの経路$C$に沿って動く物体に力を加えます。長さ$ds$の短い一歩ごとに、進行方向に沿った力の成分だけが仕事$F\cdot T\,ds$をします。ここで$T$は単位接ベクトルです。これらを足し合わせたものが、$C$に沿う$F$の線積分、すなわち仕事$W$です。

経路に沿った黄色の印は$F\cdot T$を表します。力が進行を助ける場所では塗りつぶした前向きの印、妨げる場所では中抜きの後ろ向きの印です。下のグラフは、Aから進んだ距離$s$に対する$F\cdot T$を描きます。軸より下の斜線部分を負として数えると、赤い点Sまでの面積がここまでの仕事、全体の面積が$W$です。線積分が、$s$についての普通の積分になりました。

Sでは、力を経路に沿った黄色の成分と、経路に直角な淡い成分に分けています。直角な成分は仕事をしません。放射状の場$F = (x, y)$で、原点を中心とする半径2の円を回ると、力の大きさは2ですが真っすぐ外を向くため、$F\cdot T = 0$、$W = 0$です。仕事は、力の大きさと経路の長さを単に掛けたものではありません。向きを反転すると同じ経路を逆向きに進み、$T$は$-T$に、$W$は$-W$に変わります。

勾配場$F = \nabla\varphi$では、合成関数の微分法により、$F\cdot T\,ds$は一歩の間の$\varphi$の変化になります。Sまでの仕事は$\varphi(S) - \varphi(A)$です。$\nabla\varphi$が連続なら、区分的に滑らかなどの経路に沿った仕事も、その両端だけで決まります。

等高線を選ぶと、式を使わずに理由が見えます。$\varphi$が整数となる線を描き、1本の線から1つ上の線に進むと$\varphi$が1増えます。したがって、その間を上る経路では、途中で滑らかに積み重なる仕事が1になります。経路がどれほど曲がりくねっても、余分な横切りは上りと下りの対になり、打ち消し合います。そのためAからBへのどの経路でも、差し引きの横切り回数は同じです。そこに両端の1未満の端数を加えたものが$\varphi(B) - \varphi(A)$になります。

仕事が経路の両端だけで決まる場を保存場と呼びます。そのような場では、閉じた経路は始点に戻るので、どの閉じた経路でも仕事は0です。

回転の場$F = (-y, x)$にはポテンシャルがありません。$(2, 0)$から$(-2, 0)$まで、上側の半円は長さ$2\pi$の全体で$F\cdot T = 2$なので、$W = 4\pi \approx 12.57$です。x軸上では力が経路に直角で、$W = 0$です。上側を回り、軸に沿って戻る閉じた経路は、$4\pi$の仕事をします。

らせん階段$F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$は、その中間にあります。定義されるすべての点で回転は0で、原点以外のどの点の近くでも偏角$\theta$の勾配です。しかし原点を反時計回りに一周すると角度が$2\pi$増えるので、一周全体で使える1つの角度関数はありません。等高線は半直線で、仕事は経路に沿って連続的に追った$\theta$の変化です。原点を反時計回りに一周すると$2\pi \approx 6.28$、原点を囲まない円を一周すると0です。