Криволинейный интеграл

Силовое поле $F$ действует на тело, движущееся по пути $C$ от A до B. На каждом коротком шаге длины $ds$ работу совершает только составляющая силы по направлению движения: $F\cdot T\,ds$, где $T$ — единичный касательный вектор. Сложение этих частей даёт криволинейный интеграл поля $F$ вдоль $C$ — работу $W$.

Жёлтые метки вдоль пути показывают $F\cdot T$: закрашенные и направленные вперёд там, где сила помогает, полые и направленные назад там, где мешает. График под изображением показывает $F\cdot T$ в зависимости от расстояния $s$, пройденного от A. Если считать заштрихованную площадь под осью отрицательной, площадь до красной точки S — уже совершённая работа, а вся площадь — $W$: криволинейный интеграл стал обычным интегралом по $s$.

В S сила разложена на жёлтую составляющую вдоль пути и бледную поперёк него, которая работы не совершает. В радиальном поле $F = (x, y)$ на окружности радиуса 2 с центром в начале координат сила имеет длину 2, но направлена наружу, поэтому $F\cdot T = 0$ и $W = 0$. Работа не равна просто величине силы, умноженной на длину пути. Кнопка Обратить проходит тот же путь в обратную сторону, превращая $T$ в $-T$, а $W$ в $-W$.

В градиентном поле $F = \nabla\varphi$ по правилу дифференцирования сложной функции величина $F\cdot T\,ds$ — изменение $\varphi$ за шаг. Работа до S равна $\varphi(S) - \varphi(A)$, а если $\nabla\varphi$ непрерывен, работа по любому кусочно-гладкому пути зависит только от его концов:

Режим Линии уровня объясняет это без формулы. Он рисует линии, где $\varphi$ — целое число. От одной линии к следующей вверх $\varphi$ увеличивается на 1, поэтому путь, поднимающийся между ними, даёт единицу работы, плавно накапливаемую по дороге. Как бы ни извивался путь, лишние пересечения появляются парами: одно вверх, другое вниз, и взаимно уничтожаются. Поэтому любой путь от A до B даёт одинаковое итоговое число пересечений; вместе с долями единицы на концах оно составляет $\varphi(B) - \varphi(A)$.

Поле, работа которого зависит только от концов пути, называют консервативным. В нём работа по любому замкнутому пути равна нулю: конец совпадает с началом.

У поля вращения $F = (-y, x)$ нет потенциала. От $(2, 0)$ до $(-2, 0)$ на верхней полуокружности $F\cdot T = 2$ вдоль всей длины $2\pi$, поэтому $W = 4\pi \approx 12.57$. Вдоль оси x сила поперечна пути и $W = 0$. Движение сверху с возвращением по оси даёт замкнутый путь с работой $4\pi$.

Винтовая лестница $F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$ занимает промежуточное положение. Её ротор равен нулю всюду, где поле определено, а вблизи любой точки, кроме начала координат, она является градиентом полярного угла $\theta$. Но единой функции угла для полного оборота нет: один обход против часовой стрелки вокруг начала добавляет $2\pi$. Линии уровня — лучи, а работа — изменение $\theta$, за которым непрерывно следят вдоль пути: $2\pi \approx 6.28$ за один оборот против часовой стрелки вокруг начала и 0 по окружности, которая его не охватывает.