Integral de línea

Un campo de fuerzas $F$ actúa sobre un objeto que recorre un camino $C$ de A a B. En cada pequeño paso de longitud $ds$, solo la componente de la fuerza en la dirección del movimiento realiza trabajo, $F\cdot T\,ds$, donde $T$ es el vector tangente unitario. Al sumar esas contribuciones se obtiene la integral de línea de $F$ a lo largo de $C$, el trabajo $W$.

Las marcas amarillas a lo largo del camino muestran $F\cdot T$: rellenas y hacia delante donde la fuerza ayuda, huecas y hacia atrás donde frena. El gráfico bajo la vista representa $F\cdot T$ frente a la distancia $s$ recorrida desde A. Contando como negativa el área rayada bajo el eje, el área hasta el punto rojo S es el trabajo realizado hasta entonces, y el área total es $W$: la integral de línea se ha convertido en una integral simple en $s$.

En S, la fuerza se descompone en una componente amarilla a lo largo del camino y otra tenue perpendicular a él, que no realiza trabajo. En el campo radial $F = (x, y)$, sobre el círculo de radio 2 centrado en el origen, la fuerza tiene longitud 2 pero apunta hacia fuera, de modo que $F\cdot T = 0$ y $W = 0$. El trabajo no es el módulo de la fuerza multiplicado por la longitud del camino. La opción Invertir recorre el mismo camino al revés, cambiando $T$ por $-T$ y $W$ por $-W$.

En un campo gradiente $F = \nabla\varphi$, la regla de la cadena hace que $F\cdot T\,ds$ sea el cambio de $\varphi$ en ese pequeño paso. El trabajo hasta S es $\varphi(S) - \varphi(A)$ y, si $\nabla\varphi$ es continuo, el trabajo a lo largo de cualquier camino suave a trozos depende solo de sus extremos:

La opción Curvas de nivel explica por qué sin fórmulas. Dibuja las curvas donde $\varphi$ es un entero. Al subir de una a la siguiente, $\varphi$ aumenta en 1, por lo que un camino que sube entre ellas realiza una unidad de trabajo, acumulada de forma continua durante el recorrido. Por muchas vueltas que dé un camino, sus cruces adicionales van por parejas, uno hacia arriba y otro hacia abajo, y se cancelan. Por tanto, todos los caminos de A a B cruzan el mismo número neto de curvas; ese número, más las fracciones de unidad de los extremos, suma $\varphi(B) - \varphi(A)$.

Un campo cuyo trabajo solo depende de los extremos del camino se llama conservativo. En él, cualquier camino cerrado realiza trabajo cero, porque termina donde empieza.

El campo de rotación $F = (-y, x)$ no tiene potencial. De $(2, 0)$ a $(-2, 0)$, el semicírculo superior tiene $F\cdot T = 2$ a lo largo de toda su longitud $2\pi$, de modo que $W = 4\pi \approx 12.57$. En el eje x, la fuerza es perpendicular al camino y $W = 0$. Ir por arriba y volver por el eje forma un camino cerrado que realiza un trabajo de $4\pi$.

La escalera de caracol $F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$ es un caso intermedio. Su rotacional es cero donde está definida y, cerca de cualquier punto distinto del origen, es el gradiente del ángulo polar $\theta$. Pero ninguna función angular única sirve para dar toda la vuelta, porque una vuelta antihoraria alrededor del origen añade $2\pi$. Sus curvas de nivel son semirrectas, y el trabajo es el cambio de $\theta$ seguido a lo largo del camino: $2\pi \approx 6.28$ en una vuelta antihoraria alrededor del origen y 0 en un círculo que no lo encierra.