Integral de linha

Um campo de forças $F$ atua sobre um objeto que percorre um caminho $C$ de A até B. Em cada pequeno passo de comprimento $ds$, só a componente da força no sentido do movimento realiza trabalho, $F\cdot T\,ds$, onde $T$ é o vetor tangente unitário. Somar essas parcelas dá o integral de linha de $F$ ao longo de $C$, o trabalho $W$.

As marcas amarelas ao longo do caminho mostram $F\cdot T$: preenchidas e voltadas para a frente onde a força ajuda, vazias e voltadas para trás onde trava. O gráfico sob a vista representa $F\cdot T$ em função da distância $s$ percorrida desde A. Contando como negativa a área hachurada abaixo do eixo, a área até ao ponto vermelho S é o trabalho realizado até aí, e a área total é $W$: o integral de linha tornou-se um integral simples em $s$.

Em S, a força divide-se numa componente amarela ao longo do caminho e noutra ténue perpendicular a ele, que não realiza trabalho. No campo radial $F = (x, y)$, sobre a circunferência de raio 2 centrada na origem, a força tem comprimento 2 mas aponta para fora, pelo que $F\cdot T = 0$ e $W = 0$. O trabalho não é o módulo da força vezes o comprimento do caminho. A opção Inverter percorre o mesmo caminho no sentido contrário, transformando $T$ em $-T$ e $W$ em $-W$.

Num campo gradiente $F = \nabla\varphi$, a regra da cadeia faz de $F\cdot T\,ds$ a variação de $\varphi$ nesse pequeno passo. O trabalho até S é $\varphi(S) - \varphi(A)$ e, quando $\nabla\varphi$ é contínuo, o trabalho ao longo de qualquer caminho suave por troços depende apenas dos seus extremos:

A opção Curvas de nível mostra porquê sem fórmulas. Desenha as linhas onde $\varphi$ é um inteiro. Ao subir de uma linha para a seguinte, $\varphi$ aumenta 1, pelo que um caminho que sobe entre elas realiza uma unidade de trabalho, acumulada continuamente ao longo do percurso. Por mais voltas que o caminho dê, as passagens adicionais surgem aos pares, uma para cima e outra para baixo, e anulam-se. Todos os caminhos de A até B atravessam, por isso, o mesmo número líquido de linhas; esse número, com as frações de unidade nos dois extremos, soma $\varphi(B) - \varphi(A)$.

Um campo cujo trabalho depende apenas dos extremos do caminho chama-se conservativo. Nesse campo, qualquer caminho fechado realiza trabalho nulo, porque termina onde começa.

O campo de rotação $F = (-y, x)$ não tem potencial. De $(2, 0)$ até $(-2, 0)$, a semicircunferência superior tem $F\cdot T = 2$ ao longo de todo o seu comprimento $2\pi$, pelo que $W = 4\pi \approx 12.57$. No eixo x, a força é perpendicular ao caminho e $W = 0$. Ir por cima e regressar pelo eixo forma um caminho fechado que realiza um trabalho de $4\pi$.

A escada em caracol $F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$ é um caso intermédio. O seu rotacional é zero onde está definida e, perto de qualquer ponto diferente da origem, é o gradiente do ângulo polar $\theta$. Mas nenhuma função angular única serve para dar toda a volta, porque uma volta no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio em torno da origem acrescenta $2\pi$. As suas curvas de nível são semirretas, e o trabalho é a variação de $\theta$ acompanhado ao longo do caminho: $2\pi \approx 6.28$ numa volta no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio em torno da origem e 0 numa circunferência que não a envolve.