Intégrale curviligne

Un champ de forces $F$ agit sur un objet qui suit un chemin $C$ de A à B. Sur chaque petit déplacement de longueur $ds$, seule la composante de la force dans le sens du mouvement fournit du travail, $F\cdot T\,ds$, où $T$ est le vecteur tangent unitaire. En additionnant ces contributions, on obtient l’intégrale curviligne de $F$ le long de $C$, le travail $W$.

Les traits jaunes le long du chemin représentent $F\cdot T$ : pleins et dirigés vers l’avant là où la force aide le mouvement, creux et dirigés vers l’arrière là où elle le freine. Le graphique sous la vue trace $F\cdot T$ en fonction de la distance $s$ parcourue depuis A. En comptant négativement l’aire hachurée sous l’axe, l’aire jusqu’au point rouge S est le travail fourni jusque-là, et l’aire totale est $W$ : l’intégrale curviligne est devenue une intégrale simple selon $s$.

En S, la force se décompose en une composante jaune le long du chemin et une composante pâle perpendiculaire à celui-ci, qui ne fournit aucun travail. Dans le champ radial $F = (x, y)$, sur le cercle de rayon 2 centré à l’origine, la force a une longueur de 2 mais pointe directement vers l’extérieur ; ainsi, $F\cdot T = 0$ et $W = 0$. Le travail n’est pas la norme de la force multipliée par la longueur du chemin. L’option Inverser parcourt le même chemin en sens inverse, remplaçant $T$ par $-T$ et $W$ par $-W$.

Dans un champ de gradient $F = \nabla\varphi$, la règle de dérivation en chaîne fait de $F\cdot T\,ds$ la variation de $\varphi$ sur le petit déplacement. Le travail jusqu’à S vaut $\varphi(S) - \varphi(A)$ et, lorsque $\nabla\varphi$ est continu, le travail sur tout chemin lisse par morceaux ne dépend que de ses extrémités :

L’option Courbes de niveau explique pourquoi sans formule. Elle trace les lignes où $\varphi$ est un entier. En montant d’une ligne à la suivante, $\varphi$ augmente de 1 : un chemin qui monte entre elles fournit donc une unité de travail, accumulée continûment en route. Quels que soient les détours, les traversées supplémentaires vont par paires, une montée et une descente, et se compensent. Tout chemin de A à B traverse donc le même nombre net de lignes ; ce nombre, complété par les fractions d’unité aux deux extrémités, donne $\varphi(B) - \varphi(A)$.

Un champ dont le travail ne dépend que des extrémités du chemin est dit conservatif. Dans un tel champ, le travail sur tout chemin fermé est nul, puisque l’arrivée coïncide avec le départ.

Le champ de rotation $F = (-y, x)$ n’a pas de potentiel. De $(2, 0)$ à $(-2, 0)$, le demi-cercle supérieur donne $F\cdot T = 2$ sur toute sa longueur $2\pi$, donc $W = 4\pi \approx 12.57$. Sur l’axe x, la force est perpendiculaire au chemin et $W = 0$. Passer par le haut puis revenir par l’axe forme un chemin fermé dont le travail vaut $4\pi$.

L’escalier en colimaçon $F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$ est un cas intermédiaire. Son rotationnel est nul partout où il est défini et, au voisinage de tout point autre que l’origine, il est le gradient de l’angle polaire $\theta$. Mais aucune fonction angle unique ne convient pour un tour complet, car un tour dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine ajoute $2\pi$. Ses courbes de niveau sont des demi-droites, et le travail est la variation de $\theta$ suivi le long du chemin : $2\pi \approx 6.28$ pour un tour dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine, et 0 sur un cercle qui ne l’entoure pas.