Produit scalaire

Pour deux vecteurs non nuls $a = (a_1, a_2)$ et $b = (b_1, b_2)$, le produit scalaire a deux définitions. L’une multiplie les coordonnées correspondantes, puis les additionne. L’autre multiplie les deux longueurs par le cosinus de l’angle θ entre les vecteurs, sans jamais faire intervenir de coordonnées. Ici, vous pouvez faire tourner les axes sous deux vecteurs fixes pour voir pourquoi les deux expressions coïncident toujours, à condition que les axes soient perpendiculaires et utilisent la même unité de longueur.

Les vecteurs restent à leur place à l’écran, tandis que les axes tournent sous eux. Après une rotation d’angle φ, chaque vecteur a de nouvelles coordonnées, notées avec des primes, comme $a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$ et $a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$. La barre de somme sous le plan place les deux termes $a_1'b_1'$ et $a_2'b_2'$ bout à bout. Lorsque les axes tournent, les deux termes changent, mais l’extrémité de la ligne reste fixe. Avec les valeurs initiales $a = (3, 1)$ et $b = (1, 2)$, la somme vaut $3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$. Après une rotation de 135°, les termes valent −1 et 6 ; leur somme vaut toujours 5.

Développer les nouvelles coordonnées explique pourquoi. Les termes croisés des deux produits apparaissent une fois avec un signe plus et une fois avec un signe moins ; $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ simplifie le reste. L’option Les deux termes développés représente ce calcul avec les valeurs actuelles.

Puisque la somme est la même dans tous les axes obtenus par rotation, choisissons les plus simples : l’axe des x selon a. On a alors $a = (|a|, 0)$, le second terme est nul, et la première coordonnée de b vaut $|b|\cos\theta$, la longueur algébrique de b dans la direction de a. C’est la projection scalaire de b sur a. Ainsi, $a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$ : la formule géométrique est la formule en coordonnées lue dans les axes alignés sur a. Selon b, elle vaut |b| fois la projection de a sur b.

Les longueurs sont positives ; le produit scalaire a donc le signe de $\cos\theta$. Il est positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit et négatif pour un angle obtus, où la projection de b tombe dans le sens opposé à a. Deux vecteurs non nuls sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul, comme (3, 1) et (−1, 3). Lue dans l’autre sens, la formule donne l’angle à partir des coordonnées :

L’option Lignes de niveau répond à une autre question : pour a ≠ 0 fixé, quels vecteurs x vérifient $a \cdot x = c$ ? Tous ces vecteurs x ont la même projection sur a, $c/|a|$ ; ils forment donc une droite perpendiculaire à a. Deux droites dont les valeurs de c diffèrent de 1 sont espacées de $1/|a|$ : plus a est long, plus elles sont proches. Avec a = (3, 1), la droite passant par b = (1, 2) est $3x + y = 5$, et (0, 5) et (2, −1) s’y trouvent aussi. C’est l’équation normale d’une droite, dont a est un vecteur normal.