내적

영벡터가 아닌 두 벡터 $a = (a_1, a_2)$와 $b = (b_1, b_2)$의 내적에는 두 가지 정의가 있습니다. 하나는 같은 위치의 좌표끼리 곱해서 더합니다. 다른 하나는 두 길이에 벡터 사이의 각 θ의 코사인을 곱하며, 좌표를 전혀 사용하지 않습니다. 여기서는 두 벡터를 고정한 채 좌표축을 돌릴 수 있습니다. 좌표축이 서로 수직이고 단위 길이가 같으면 두 정의가 항상 일치하는 이유를 볼 수 있습니다.

벡터는 화면에서 그대로 있고 좌표축만 회전합니다. 좌표축을 각도 φ만큼 돌리면 각 벡터의 좌표가 바뀌며, $a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$와 $a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$처럼 프라임 기호를 붙여 나타냅니다. 평면 아래의 합 막대는 두 항인 $a_1'b_1'$, $a_2'b_2'$의 끝을 서로 이어 놓습니다. 좌표축이 회전하면 두 항은 모두 변하지만 막대의 끝은 움직이지 않습니다. 기본 설정인 $a = (3, 1)$, $b = (1, 2)$에서는 합이 $3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$입니다. 135° 돌리면 두 항은 −1과 6이 되고, 합은 여전히 5입니다.

새 좌표의 곱을 전개하면 이유가 드러납니다. 두 곱의 교차항은 한 번은 양의 부호, 한 번은 음의 부호로 나타나 상쇄되고, 나머지는 $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$을 이용해 정리할 수 있습니다. 두 항의 전개는 현재 수치로 이 과정을 그려 보여 줍니다.

좌표축을 어떻게 돌려도 합이 같으므로 가장 간단한 방향, 즉 x축을 a 방향으로 맞춰 봅시다. 그러면 $a = (|a|, 0)$이 되어 두 번째 항은 0입니다. b의 첫 번째 좌표는 $|b|\cos\theta$로, b가 a 방향으로 얼마나 뻗는지 부호를 포함해 나타냅니다. 이것이 a에 대한 b의 부호 있는 정사영 길이입니다. 따라서 $a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$입니다. 기하학적 공식은 a 방향으로 맞춘 좌표축에서 좌표 공식을 읽은 것입니다. b 방향으로 맞추면 |b|와 b에 대한 a의 부호 있는 정사영 길이의 곱이 됩니다.

길이는 양수이므로 내적의 부호는 $\cos\theta$의 부호와 같습니다. 예각이면 양수, 직각이면 0, 둔각이면 음수이며, 둔각일 때 b의 정사영은 a의 반대 방향에 놓입니다. 영벡터가 아닌 두 벡터가 수직일 필요충분조건은 내적이 0인 것입니다. (3, 1)과 (−1, 3)이 그 예입니다. 거꾸로 공식을 읽으면 좌표에서 사이각을 구할 수 있습니다.

등위선은 또 다른 질문에 답합니다. a ≠ 0을 고정했을 때 어떤 벡터 x가 $a \cdot x = c$를 만족할까요? 이런 x는 모두 a에 대한 부호 있는 정사영 길이가 $c/|a|$로 같으므로, a에 수직인 한 직선을 이룹니다. c의 값이 1 차이 나는 직선들의 간격은 $1/|a|$입니다. 따라서 a가 길수록 더 촘촘해집니다. a = (3, 1)일 때 b = (1, 2)를 지나는 직선은 $3x + y = 5$이며, (0, 5)와 (2, −1)도 그 위에 있습니다. 이는 a를 법선벡터로 하는 직선의 법선형입니다.