الضرب القياسي

للمتجهين غير الصفريين ⁦$a = (a_1, a_2)$⁩ و⁦$b = (b_1, b_2)$⁩ تعريفان لـالضرب القياسي. يضرب أحدهما الإحداثيات المتقابلة ويجمعها. ويضرب الآخر الطولين في جيب تمام الزاوية ⁦θ⁩ بين المتجهين، دون ذكر الإحداثيات. هنا يمكنك تدوير المحورين تحت متجهين ثابتين لترى لماذا يتفق التعريفان دائمًا، ما دام المحوران متعامدين ووحدة الطول على كليهما واحدة.

يبقى المتجهان في موضعيهما على الشاشة، ويدور المحوران تحتهما. بعد دوران بزاوية ⁦φ⁩، تصبح لكل متجه إحداثيات جديدة نميّزها بشرطة، مثل ⁦$a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$⁩ و⁦$a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$⁩. يضع شريط المجموع تحت المستوى الحدّين ⁦$a_1'b_1'$⁩ و⁦$a_2'b_2'$⁩ متتابعين. يتغيّر الحدّان مع دوران المحورين، لكن نهاية الصف تبقى ثابتة. للقيمتين الافتراضيتين ⁦$a = (3, 1)$⁩ و⁦$b = (1, 2)$⁩ يكون المجموع ⁦$3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$⁩. وبعد دوران ⁦135°⁩ يصبح الحدّان ⁦−1⁩ و6، ويظل مجموعهما 5.

يظهر السبب عند توسيع حاصلَي ضرب الإحداثيات الجديدة. تظهر الحدود المختلطة مرة بإشارة موجبة ومرة بإشارة سالبة، وتجمع ⁦$\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$⁩ ما تبقّى. يعرض خيار توسيع الحدّين ذلك باستخدام الأعداد الحالية.

بما أن المجموع واحد مهما أدرنا المحورين، فلنختر الوضع الأسهل: محور ⁦x⁩ في اتجاه ⁦a⁩. عندئذ ⁦$a = (|a|, 0)$⁩، والحد الثاني 0، وإحداثي ⁦b⁩ الأول هو ⁦$|b|\cos\theta$⁩، أي مقدار امتداد ⁦b⁩ في اتجاه ⁦a⁩ مع مراعاة الإشارة. هذا هو إسقاط ⁦b⁩ على ⁦a⁩. إذن ⁦$a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$⁩: الصيغة الهندسية هي صيغة الإحداثيات مقروءةً في محورين موجّهين في اتجاه ⁦a⁩. وفي اتجاه ⁦b⁩، تكون ⁦|b|⁩ مضروبًا في إسقاط ⁦a⁩ على ⁦b⁩.

الطولان موجبان، لذا للضرب القياسي إشارة ⁦$\cos\theta$⁩ نفسها. فهو موجب للزاوية الحادة، و0 للقائمة، وسالب للمنفرجة، حيث يقع إسقاط ⁦b⁩ في الاتجاه المعاكس لـ⁦a⁩. يتعامد متجهان غير صفريين إذا وفقط إذا كان ضربهما القياسي 0، كما في ⁦(3, 1)⁩ و⁦(−1, 3)⁩. وبقراءة الصيغة بالعكس يمكن إيجاد الزاوية من الإحداثيات:

تجيب خطوط تساوي القيمة عن سؤال آخر: لمتجه ثابت ⁦a ≠ 0⁩، أي المتجهات ⁦x⁩ تحقق ⁦$a \cdot x = c$⁩؟ لكل منها الإسقاط نفسه على ⁦a⁩، وهو ⁦$c/|a|$⁩، لذا تملأ مستقيمًا عموديًا على ⁦a⁩. تتباعد المستقيمات التي تختلف قيم ⁦c⁩ فيها بمقدار 1 مسافة ⁦$1/|a|$⁩، ولذلك تتقارب عندما يطول ⁦a⁩. عندما ⁦a = (3, 1)⁩، يكون المستقيم المارّ بـ⁦b = (1, 2)⁩ هو ⁦$3x + y = 5$⁩، وتقع عليه أيضًا ⁦(0, 5)⁩ و⁦(2, −1)⁩. هذه صيغة المستقيم باستخدام متجه عمودي عليه، وهو ⁦a⁩.