內積

對於兩個非零向量$a = (a_1, a_2)$與$b = (b_1, b_2)$，內積有兩種定義。一種將對應座標相乘後相加；另一種將兩向量的長度相乘，再乘以夾角θ的餘弦，完全不涉及座標。這裡可以在兩個固定的向量下方轉動座標軸，觀察為什麼只要兩軸互相垂直、單位長度相同，兩種定義就總是一致。

向量在畫面上的位置不動，座標軸在它們下方轉動。轉過角度φ後，每個向量都有新的座標，以撇號標示，例如$a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$與$a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$。平面下方的求和條把$a_1'b_1'$與$a_2'b_2'$兩項首尾相接。座標軸轉動時，兩項都會改變，但整排的終點不動。預設的$a = (3, 1)$與$b = (1, 2)$給出總和$3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$。轉動135°後，兩項為−1和6，相加仍是5。

展開新座標的乘積就能看出原因。兩個乘積中的交叉項各出現一次正號和一次負號，剩下的部分則用$\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$合併。展開兩項會以目前的數值畫出這個過程。

既然任意轉動後的座標軸都給出相同總和，就選最簡單的一組：x軸沿a方向。此時$a = (|a|, 0)$，第二項為0，而b的第一個座標為$|b|\cos\theta$，也就是b沿a方向延伸多遠，並帶有正負號。這就是b在a上的純量投影。因此$a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$：幾何公式就是沿a方向的座標軸下讀出的座標公式。沿b方向時，則是|b|乘以a在b上的純量投影。

長度為正，因此內積與$\cos\theta$同號。夾角為銳角時為正，直角時為0，鈍角時為負，此時b的投影落在a的反方向。兩個非零向量垂直，若且唯若它們的內積為0，例如(3, 1)與(−1, 3)。反過來看，這個公式也能從座標求出夾角：

等值線回答另一個問題：固定a ≠ 0時，哪些向量x滿足$a \cdot x = c$？所有這樣的x在a上的純量投影都相同，為$c/|a|$，因此形成一條垂直於a的直線。c值相差1的兩條線相距$1/|a|$，所以a越長，線就排得越密。a = (3, 1)時，通過b = (1, 2)的直線為$3x + y = 5$，(0, 5)與(2, −1)也在這條線上。這就是直線的法向量式，a是其法向量。