内積

零ベクトルでない2つのベクトル$a = (a_1, a_2)$と$b = (b_1, b_2)$の内積には、2通りの定義がある。一方は対応する座標どうしを掛けて足す。もう一方は2つの長さとなす角θの余弦を掛け、座標を一切使わない。ここでは2つのベクトルを固定したまま座標軸を回せる。軸が互いに垂直で単位の長さが同じなら、2つの定義が常に一致する理由が見えてくる。

ベクトルは画面上の位置を保ち、座標軸だけが回る。軸を角度φだけ回すと各ベクトルの座標が変わり、$a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$や$a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$のようにプライム記号を付けて表す。平面の下の和のバーは、2つの項$a_1'b_1'$と$a_2'b_2'$を端から端へつないでいる。座標軸を回すと両方の項が変わるが、バーの終点は動かない。初期設定の$a = (3, 1)$と$b = (1, 2)$では和は$3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$となる。135°回すと各項は−1と6になるが、和はやはり5だ。

新しい座標で積を展開すると、その理由が分かる。2つの積の交差項は、一方では正、もう一方では負の符号で現れて打ち消し合う。残りの項は$\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$を使ってまとめられる。2つの項の展開では、現在の数値を使ってこの様子を描く。

座標軸をどう回しても和は同じなので、最も簡単な向き、つまりx軸をaに合わせよう。すると$a = (|a|, 0)$となり、第2項は0になる。bの第1座標は$|b|\cos\theta$で、bがaの向きにどれだけ届くかを符号付きで表す。これがbのaへの符号付き射影長だ。したがって$a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$となる。幾何学的な公式は、aの向きに合わせた座標軸で座標の公式を読んだものなのだ。bの向きに合わせれば、|b|とaのbへの符号付き射影長の積になる。

長さは正なので、内積の符号は$\cos\theta$の符号と同じになる。鋭角なら正、直角なら0、鈍角なら負となり、鈍角のときbの射影はaと逆向きになる。零ベクトルでない2つのベクトルが垂直であることと、内積が0であることは同値だ。(3, 1)と(−1, 3)がその例になる。逆に、この公式を使えば座標からなす角を求められる。

等値線は別の問いに答える。a ≠ 0を固定したとき、どのベクトルxが$a \cdot x = c$を満たすだろう。そのようなxはすべて、aへの符号付き射影長が$c/|a|$で等しいため、aに垂直な1本の直線をなす。cの値が1違う直線どうしの間隔は$1/|a|$なので、aが長いほど間隔は狭くなる。a = (3, 1)のとき、b = (1, 2)を通る直線は$3x + y = 5$で、(0, 5)と(2, −1)もその上にある。これはaを法線ベクトルとする、直線の法線形式だ。