基底と座標

平面の基底は、同一直線上にない順序付きのベクトルの組$b_1, b_2$です。どのベクトル$x$も$x = c_1b_1 + c_2b_2$と一意に表せます。このとき数$c_1, c_2$が、基底$B = (b_1, b_2)$に関する$x$の座標で、$[x]_B$と書きます。

左は標準格子です。$b_1$と$b_2$を墨色の矢印で、それらが作る斜めの格子とともに描き、$x$を青で示します。右はB座標図で、$b_1$、$b_2$が単位正方形の辺となり、$x$がその座標に置かれます。$b_1$や$b_2$をドラッグしても、左の$x$は動きません。変わるのは格子と数だけです。座標は物差しで測った読数であり、矢印の属性ではないのです。

座標を読むには、$x$から他方の基底ベクトルに沿って$B$の各軸に戻ります。$b_2$に平行に進むと$b_1$軸の$c_1b_1$に、$b_1$に平行に進むと$b_2$軸の$c_2b_2$に着きます。これが2本の黄色い線分で、$x$からの破線と合わせて、$x$を対角線とする平行四辺形になります。$b_1$と$b_2$は同一直線上にないので、各方向の移動は軸とちょうど1点で交わり、座標は存在して一意に定まります。

$k \ne 0$として$b_1$を$k\,b_1$に変え、$b_2$は固定します。$x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$なので、第1座標は$c_1/k$になり、第2座標は変わりません。2倍の長さの物差しなら読数は半分です。基底ベクトルを回す場合にはこの規則はなく、両方の座標が変わり得ます。

$b_1$と$b_2$を並べて行列$P$の列にします。$x = c_1b_1 + c_2b_2$は$x = P\,[x]_B$ということです。$P$は$B$での座標を標準座標に変え、逆方向には$P^{-1}$が必要です。

B座標図は、平面全体を$P^{-1}$で変換した図です。$b_1$、$b_2$はそれぞれ$(1, 0)$、$(0, 1)$に移るので、$B$の格子が正方格子になり、標準格子のほうが斜めになることがあります。標準基底ベクトル$\hat\imath$、$\hat\jmath$の移る先が$P^{-1}$の各列です。図はB座標で描かれています。すべての長さと角度が保たれるのは、$b_1$と$b_2$が互いに垂直な単位ベクトルの場合だけです。

近道に見えるのが、$x$から$b_1$、$b_2$の直線に垂線を下ろし、その足の位置を読む方法です。垂線の足はこの読数を示します。$b_1 \perp b_2$なら座標と一致し、互いに垂直な単位ベクトルなら各読数は内積$x\cdot b_i$そのものです。斜めの基底では、$x$が0の場合を除き、必ず座標と異なります。

同一直線上の2本は基底ではありません。このとき$\det P = 0$で、格子はその直線につぶれます。両方が零ベクトルならOだけになります。$x$がつぶれた格子に含まれれば、読み方は無数にあります。$b_2 = 2b_1 = (2, 2)$かつ$x = (3, 3)$なら、$c_1 + 2c_2 = 3$を満たすすべての$(c_1, c_2)$が使えます。$x$が外にあれば、読み方はありません。