Базис и координаты

Базис плоскости — упорядоченная пара неколлинеарных векторов $b_1, b_2$. Тогда каждый вектор $x$ единственным образом записывается как $x = c_1b_1 + c_2b_2$. Числа $c_1, c_2$ — координаты вектора $x$ в базисе $B = (b_1, b_2)$, обозначаемые $[x]_B$.

Слева — стандартная сетка: тёмные стрелки $b_1$ и $b_2$, образованная ими косоугольная сетка и синий $x$. Справа — рисунок в координатах B, где $b_1$ и $b_2$ являются сторонами единичного квадрата, а $x$ расположен по своим координатам. Перетащите $b_1$ или $b_2$: слева $x$ не сдвинется. Меняются лишь сетка и числа, ведь координаты — измерение линейкой, а не свойство стрелки.

Чтобы прочесть координаты, вернитесь из $x$ к каждой оси $B$ параллельно другому базисному вектору. Двигаясь параллельно $b_2$, вы попадёте на ось $b_1$ в точку $c_1b_1$; параллельно $b_1$ — на ось $b_2$ в точку $c_2b_2$. Это два жёлтых отрезка. Вместе с пунктирными линиями из $x$ они образуют параллелограмм с диагональю $x$. Поскольку $b_1$ и $b_2$ неколлинеарны, каждый путь встречает свою ось ровно в одной точке: координаты существуют и единственны.

Замените $b_1$ на $k\,b_1$ при $k \ne 0$, не меняя $b_2$. Поскольку $x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$, первая координата станет $c_1/k$, а вторая останется прежней: вдвое более длинная линейка даёт вдвое меньшее число. При повороте базисного вектора это правило не действует; могут измениться обе координаты.

Поставьте $b_1$ и $b_2$ рядом как столбцы матрицы $P$. Тогда $x = c_1b_1 + c_2b_2$ означает $x = P\,[x]_B$: $P$ переводит координаты в $B$ в стандартные; для обратного перехода нужна $P^{-1}$.

Рисунок в координатах B — это вся плоскость после преобразования $P^{-1}$. Оно переводит $b_1$ и $b_2$ в $(1, 0)$ и $(0, 1)$, поэтому сетка $B$ становится квадратной, а стандартная сетка может стать косоугольной. Стандартные базисные векторы $\hat\imath$ и $\hat\jmath$ попадают на столбцы $P^{-1}$. Рисунок построен в координатах B. Все длины и углы сохраняются только тогда, когда $b_1$ и $b_2$ — перпендикулярные единичные векторы.

Заманчивый короткий путь — опустить перпендикуляры из $x$ на прямые $b_1$ и $b_2$ и прочесть положения их оснований. Режим «Основания перпендикуляров» показывает такой способ. Он даёт координаты при $b_1 \perp b_2$; для перпендикулярных единичных векторов каждое значение — просто скалярное произведение $x\cdot b_i$. В косоугольном базисе этот способ неверен для любого $x$, кроме 0.

Два коллинеарных вектора не образуют базис. Тогда $\det P = 0$, а сетка схлопывается на прямую или на O, если оба вектора нулевые. Если $x$ принадлежит схлопнувшейся сетке, представлений бесконечно много: при $b_2 = 2b_1 = (2, 2)$ и $x = (3, 3)$ подходит любое $(c_1, c_2)$, удовлетворяющее $c_1 + 2c_2 = 3$. Если $x$ лежит вне сетки, представлений нет.