Система линейных уравнений

Система линейных уравнений требует найти значения неизвестных, при которых несколько линейных уравнений верны одновременно. Соберём коэффициенты в матрицу A, неизвестные в вектор x, а правые части в вектор b: вся система запишется как Ax = b. На странице рассматриваются квадратные системы: два уравнения с x и y либо три с x, y и z. Каждая система изображается дважды: по строкам и по столбцам.

При чтении по строкам уравнение с x и y, в котором хотя бы один коэффициент ненулевой, задаёт прямую. Решение — точка, удовлетворяющая каждому уравнению. При чтении по столбцам те же уравнения говорят, что первый столбец a₁, умноженный на x, и второй столбец a₂, умноженный на y, в сумме дают b. Поэтому обе картины показывают одну пару чисел: пересечение слева — коэффициенты представления b справа. У правого рисунка оси ① и ②, по одной на каждое уравнение, так что его точки — правые части, а не значения x и y.

У линейной системы ровно одно решение, ни одного или бесконечно много. Если det A ≠ 0, решение ровно одно при любом b. Если det A = 0, строки зависимы, как и столбцы, поэтому обе картины вырождаются одновременно. Слева прямые становятся параллельными или совпадают, если только уравнение не потеряло все коэффициенты. Справа столбцы ложатся на одну прямую, и некоторые правые части становятся недостижимыми. Если b — одна из них, уравнения противоречат друг другу и исключение заканчивается невозможным равенством, например 0 = 1. Иначе решений бесконечно много.

Кнопка Исключить неизвестные выполняет метод Гаусса — Жордана по одному шагу. Система превращается в более простую с точно теми же решениями. На каждом шаге к одному уравнению прибавляется кратное другого, уравнение умножается на ненулевое число или два уравнения меняются местами. Каждый шаг обратим, поэтому решения не теряются и не добавляются. При прибавлении кратного другого уравнения, если прямые пересекаются, изменяемая прямая поворачивается вокруг пересечения: решение остаётся на месте. Если прямые параллельны, она уходит в бесконечность, оставляя 0 = c. Если они совпадают, она остаётся на месте и превращается в 0 = 0. В столбцовой картине тот же шаг — сдвиг, при котором коэффициенты представления сохраняются. Перестановки и умножение на отрицательное число показаны скачком: плавный переход мог бы пройти через системы с другими решениями.

Даже единственное решение может быть очень чувствительным. Если две прямые почти параллельны, изменение правой части на 0,01 может далеко сдвинуть пересечение.

При трёх неизвестных уравнение с хотя бы одним ненулевым коэффициентом задаёт плоскость. Три плоскости могут пересекаться в одной точке, по прямой, совпадать целиком или не иметь общей точки. Общей точки может не быть, даже если никакие две не параллельны: каждая пара тогда пересекается по прямой, а три прямые идут рядом, как рёбра призмы. Два трёхмерных вида поворачиваются вместе лишь для удобства сравнения, а не потому, что их оси совпадают.