Sistem persamaan linear

Sistem persamaan linear mencari nilai variabel tak diketahui yang membuat beberapa persamaan linear benar sekaligus. Kumpulkan koefisien dalam matriks A, variabel tak diketahui dalam vektor x, dan ruas kanan dalam vektor b, maka seluruh sistem menjadi Ax = b. Halaman ini membahas sistem dengan jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel tak diketahui: dua persamaan dalam x dan y, atau tiga dalam x, y, dan z. Setiap sistem digambar dua kali: sekali menurut baris dan sekali menurut kolom.

Jika dibaca menurut baris, persamaan dalam x dan y yang memiliki koefisien tak nol adalah garis, dan solusi adalah titik yang memenuhi setiap persamaan. Jika dibaca menurut kolom, persamaan yang sama menyatakan bahwa x kali kolom pertama a₁ ditambah y kali kolom kedua a₂ menghasilkan b. Jadi, kedua gambar menunjukkan pasangan angka yang sama: titik potong di kiri adalah resep untuk b di kanan. Gambar kanan memiliki sumbu ① dan ②, masing-masing untuk satu persamaan, sehingga titik-titiknya adalah ruas kanan, bukan nilai x dan y.

Sistem linear memiliki tepat satu solusi, tidak ada solusi, atau tak berhingga banyak solusi. Jika det A ≠ 0, ada tepat satu solusi, apa pun b-nya. Jika det A = 0, baris-barisnya bergantung linear, begitu pula kolom-kolomnya, sehingga kedua gambar mengalami degenerasi pada saat yang sama. Di kiri, garis-garis menjadi sejajar atau berimpit, kecuali jika suatu persamaan kehilangan semua koefisiennya. Di kanan, kolom-kolom menjadi segaris, sehingga beberapa ruas kanan tidak dapat dicapai lagi. Jika b adalah salah satunya, persamaan-persamaan saling bertentangan, dan eliminasi berakhir dengan persamaan mustahil seperti 0 = 1. Jika tidak, ada tak berhingga banyak solusi.

Eliminasi menjalankan eliminasi Gauss–Jordan selangkah demi selangkah. Sistem diubah menjadi sistem yang lebih sederhana dengan solusi yang persis sama. Setiap langkah menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lain, mengalikan persamaan dengan bilangan tak nol, atau menukar dua persamaan. Setiap langkah dapat dibalik, sehingga tidak ada solusi yang hilang atau bertambah. Ketika kelipatan satu persamaan ditambahkan ke persamaan lain dan garis-garisnya berpotongan, garis yang berubah berputar mengelilingi titik potong, sehingga solusi tidak bergeser. Jika garis-garisnya sejajar, garis itu justru bergeser hingga tak berhingga dan menyisakan 0 = c. Jika kedua garis berimpit, garis itu tetap di tempat dan menjadi 0 = 0. Pada gambar kolom, langkah yang sama berupa geseran, dan resepnya tidak berubah. Pertukaran dan perkalian dengan bilangan negatif ditampilkan sebagai lompatan, karena melakukannya secara bertahap dapat melewati sistem dengan solusi yang berbeda.

Solusi yang unik tetap bisa sangat peka. Jika dua garis hampir sejajar, perubahan ruas kanan sebesar 0.01 dapat menggeser titik potong jauh sekali.

Dengan tiga variabel tak diketahui, persamaan yang memiliki koefisien tak nol adalah bidang. Tiga bidang dapat bertemu pada satu titik, sepanjang garis, pada seluruh bidang, atau tidak bertemu sama sekali. Ketiganya bisa tidak memiliki titik bersama meskipun tidak ada dua bidang yang sejajar: setiap pasangan lalu berpotongan pada garis, dan ketiga garis itu sejajar seperti rusuk-rusuk prisma. Kedua tampilan 3D diputar bersama hanya agar lebih mudah dibandingkan, bukan karena sumbunya sama.