연립일차방정식

연립일차방정식은 여러 일차방정식을 동시에 참이 되게 하는 미지수의 값을 찾는 문제입니다. 계수들을 행렬 A, 미지수들을 벡터 x, 우변들을 벡터 b로 모으면 전체를 Ax = b로 쓸 수 있습니다. 이 페이지는 미지수와 식의 수가 같은 경우, 즉 x, y에 대한 두 방정식 또는 x, y, z에 대한 세 방정식을 다룹니다. 그리고 각 연립방정식을 행과 열, 두 가지 그림으로 나타냅니다.

행으로 읽으면, 0이 아닌 계수가 있는 x와 y의 방정식은 직선이며 모든 방정식을 만족하는 점이 해입니다. 열로 읽으면, 같은 방정식은 첫째 열 a₁의 x배와 둘째 열 a₂의 y배를 더하면 b가 된다는 뜻입니다. 따라서 두 그림은 같은 두 수를 보여 줍니다. 왼쪽의 교점이 오른쪽에서 b를 만드는 조합 방법입니다. 오른쪽 그림의 축 ①과 ②는 각 방정식에 대응하므로 그 그림의 점은 x와 y의 값이 아니라 우변을 나타냅니다.

연립일차방정식의 해는 정확히 하나이거나, 없거나, 무수히 많습니다. det A ≠ 0이면 b가 무엇이든 해가 정확히 하나입니다. det A = 0이면 행도 열도 선형종속이므로 두 그림은 동시에 퇴화합니다. 왼쪽에서는 직선들이 평행해지거나 한 직선으로 겹칩니다. 다만 어떤 방정식의 계수가 모두 0이 된 경우는 예외입니다. 오른쪽에서는 열들이 한 직선에 놓이므로 만들 수 없는 우변이 생깁니다. b가 그런 우변이면 방정식들이 서로 모순되며, 소거 끝에 0 = 1처럼 불가능한 식이 남습니다. 그렇지 않으면 해는 무수히 많습니다.

소거는 가우스–조르당 소거법을 한 단계씩 실행합니다. 연립방정식을 해가 정확히 같은 더 간단한 연립방정식으로 바꿉니다. 각 단계에서는 한 방정식의 상수배를 다른 방정식에 더하거나, 방정식에 0이 아닌 수를 곱하거나, 두 방정식을 맞바꿉니다. 모든 단계를 되돌릴 수 있으므로 해가 사라지거나 새로 생기지 않습니다. 한 식의 상수배를 다른 식에 더할 때 직선들이 교차하면, 바뀌는 직선은 교점을 중심으로 돌아 해는 움직이지 않습니다. 평행한 직선이라면 무한히 멀어지며 0 = c가 남습니다. 같은 직선이라면 제자리에 머물며 0 = 0이 됩니다. 열 그림에서 같은 단계는 전단이며 조합 방법은 그대로입니다. 맞바꾸기와 음수 곱하기는 순간적으로 바뀝니다. 점진적으로 바꾸면 해가 다른 연립방정식을 거칠 수 있기 때문입니다.

해가 유일해도 매우 민감할 수 있습니다. 두 직선이 거의 평행하면 우변을 0.01만 바꾸어도 교점이 멀리 움직일 수 있습니다.

미지수가 세 개이면 0이 아닌 계수가 있는 방정식은 평면입니다. 세 평면은 한 점, 한 직선, 평면 전체에서 만나거나 전혀 만나지 않을 수 있습니다. 어느 두 평면도 평행하지 않으면서 공통점이 없을 수도 있습니다. 이때 각 쌍은 직선에서 만나며 세 직선은 삼각기둥의 모서리처럼 나란히 놓입니다. 두 3D 그림이 함께 도는 것은 비교하기 쉽게 하려는 것이지 축이 일치해서가 아닙니다.