선형생성공간

벡터들의 선형생성공간은 계수로 임의의 실수를 사용한 모든 일차결합의 집합입니다. 항상 원점 O를 포함하며, 3차원 공간에서는 O만이거나 O를 지나는 직선 또는 평면, 아니면 공간 전체입니다.

처음 화면에서 O를 지나는 유리 원판은 $\vec v$와 $\vec w$의 생성공간인 $W$입니다. 새겨진 격자의 교차점은 정수 계수를 갖는 조합 $c_1\vec v + c_2\vec w$입니다. 평면이 무한히 이어지므로 가장자리는 점점 흐려집니다. 더 흐린 원판은 정수 $k$에 대한 층 $W + k\vec u$이며, 파란 원판은 목표점 T를 지나는 평면 $W + s\vec u$입니다. 가느다란 파란 화살표가 $c_1\vec v$, $c_2\vec w$, $s\vec u$ 순서로 이어져 O에서 T로 갑니다. $\vec u$의 끝에서 $W$까지 내려오는 빨간 선분의 길이는 $|h|$입니다. 여기서 $h$는 평면을 기준으로 한 $\vec u$의 부호 있는 높이입니다.

세 번째 벡터가 어떻게 차원을 하나 늘릴까요? $\vec v$, $\vec w$, $\vec u$의 모든 조합은 $W$ 위의 점을 $\vec u$의 $s$배만큼 옮긴 것입니다. 따라서 생성공간은 $s$가 모든 실숫값을 취할 때 평면 $W + s\vec u$의 합집합입니다. $\vec u$가 $W$ 밖에 있으면 $s$과 $s + 1$에 해당하는 두 평면의 간격은 $|h|$입니다. $s$가 모든 실수를 지나면 평면들이 공간 전체를 훑습니다.

이제 $\vec u$를 내려 평면에서 아주 조금만 떨어지게 하세요. 기본값 $\vec v = (2, 1, 0)$, $\vec w = (0, 1, 2)$에서 $\vec u = (1, 1, 1.01)$과 $W$ 사이의 거리는 약 0.004이지만 생성공간은 여전히 공간 전체입니다. $(0, 0, 1)$에 도달하려면 $s = 100$이 필요합니다: $(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$. $W$ 밖의 목표를 고정하면 $|h|$가 작을수록 $|s|$이 커져야 하지만 해는 항상 있습니다. $h$가 정확히 0일 때만 모든 평면 $W + s\vec u$가 $W$와 겹치고, $\vec v$, $\vec w$, $\vec u$의 생성공간이 $W$로 줄어듭니다.

계수가 모두 0인 것은 아닌 일차결합으로 영벡터를 만들 수 있으면 벡터들은 일차종속입니다. 벡터들이 영벡터가 아닐 때 화면은 이를 닫힌 경로로 그립니다. 벡터의 배수들을 끝과 시작이 이어지게 놓으면 O로 돌아옵니다. 이는 한 벡터가 나머지 벡터의 조합이라는 말과 같습니다. $\vec v$, $\vec w$, $\vec u = (1, 1, 1)$ 중 어느 두 벡터도 평행하지 않지만, $\vec u$가 $W$ 안에 있으므로 셋은 일차종속입니다.

닫힌 경로가 있으면 한 점에 도달하는 조합 방법도 여러 가지입니다. T의 조합에 닫힌 경로의 0이 아닌 배수를 더하면 계수는 바뀌지만 점은 바뀌지 않습니다.

생성공간의 차원은 주어진 벡터들 중에서 고를 수 있는 일차독립인 벡터 개수의 최댓값입니다.