Sous-espace engendré

Le sous-espace engendré par des vecteurs est l’ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires, à coefficients réels quelconques. Il contient toujours l’origine O et, dans l’espace, se réduit à O, à une droite ou à un plan passant par O, ou remplit tout l’espace.

Dans la vue initiale, le disque de verre passant par O représente $W$, le sous-espace engendré par $\vec v$ et $\vec w$. Les croisements de sa grille gravée correspondent aux combinaisons à coefficients entiers $c_1\vec v + c_2\vec w$ ; son bord s’estompe car le plan se prolonge à l’infini. Les disques plus pâles sont les couches $W + k\vec u$, pour les entiers $k$. Le disque bleu est le plan $W + s\vec u$ passant par la cible T. De fines flèches bleues mènent de O à T : $c_1\vec v$, puis $c_2\vec w$, puis $s\vec u$. Le segment rouge reliant la pointe de $\vec u$ à $W$ a pour longueur $|h|$, où $h$ est la hauteur signée de $\vec u$ par rapport au plan.

Pourquoi un troisième vecteur peut-il ajouter une dimension entière ? Toute combinaison de $\vec v$, $\vec w$ et $\vec u$ est un point de $W$ déplacé de $s$ fois $\vec u$. Le sous-espace engendré est donc la réunion des plans $W + s\vec u$ pour tous les réels $s$. Si $\vec u$ est hors de $W$, les plans correspondant à $s$ et $s + 1$ sont distants de $|h|$. Lorsque $s$ parcourt les réels, les plans balaient tout l’espace.

Abaissez maintenant $\vec u$ jusqu’à ce qu’il dépasse à peine du plan. Avec les valeurs initiales $\vec v = (2, 1, 0)$ et $\vec w = (0, 1, 2)$, $\vec u = (1, 1, 1.01)$ n’est qu’à environ 0.004 de $W$, mais le sous-espace engendré reste tout l’espace. Atteindre $(0, 0, 1)$ nécessite $s = 100$ : $(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$. Pour une cible fixe hors de $W$, plus $|h|$ est petit, plus $|s|$ doit être grand, mais il existe toujours une solution. Ce n’est que lorsque $h$ vaut exactement 0 que chaque plan $W + s\vec u$ reste confondu avec $W$ et que le sous-espace engendré par $\vec v$, $\vec w$ et $\vec u$ se réduit à $W$.

Des vecteurs sont linéairement dépendants, ou liés, si une combinaison à coefficients non tous nuls donne le vecteur nul. Lorsque les vecteurs sont non nuls, la page représente cela par une boucle : leurs multiples, mis bout à bout, reviennent à O. De façon équivalente, l’un des vecteurs est une combinaison des autres. Aucun couple parmi $\vec v$, $\vec w$ et $\vec u = (1, 1, 1)$ n’est parallèle, mais les trois sont liés car $\vec u$ appartient à $W$ :

Une boucle signifie aussi qu’un point admet plusieurs dosages. Ajouter un multiple non nul de la boucle à un dosage de T change les coefficients, mais pas le point.

La dimension du sous-espace engendré est le nombre maximal de vecteurs indépendants que l’on peut choisir parmi ces vecteurs.