Subespacio generado

El espacio generado por unos vectores es el conjunto de todas sus combinaciones lineales con coeficientes reales cualesquiera. Siempre contiene el origen O y, en tres dimensiones, puede ser solo O, una recta o un plano que pasa por O, o todo el espacio.

En la vista inicial, el disco de vidrio que pasa por O es $W$, el espacio generado por $\vec v$ y $\vec w$. Los cruces de la cuadrícula grabada son las combinaciones con coeficientes enteros $c_1\vec v + c_2\vec w$; el borde se desvanece porque el plano continúa indefinidamente. Los discos más tenues son las capas $W + k\vec u$ para enteros $k$, y el disco azul es el plano $W + s\vec u$ que pasa por el objetivo T. Una cadena de flechas azules finas va de O a T: primero $c_1\vec v$, luego $c_2\vec w$ y después $s\vec u$. El segmento rojo que baja desde la punta de $\vec u$ hasta $W$ mide $|h|$, donde $h$ es la altura con signo de $\vec u$ respecto al plano.

¿Por qué puede un tercer vector añadir una dimensión entera? Toda combinación de $\vec v$, $\vec w$ y $\vec u$ es un punto de $W$ desplazado un múltiplo $s$ de $\vec u$. Por tanto, el espacio generado es la unión de los planos $W + s\vec u$ para todos los reales $s$. Si $\vec u$ está fuera de $W$, los planos correspondientes a $s$ y $s + 1$ distan $|h|$. Cuando $s$ recorre los números reales, los planos barren todo el espacio.

Baja ahora $\vec u$ hasta dejarlo apenas fuera del plano. Con los valores iniciales $\vec v = (2, 1, 0)$ y $\vec w = (0, 1, 2)$, $\vec u = (1, 1, 1.01)$ está a unos 0.004 de $W$, pero siguen generando todo el espacio. Llegar a $(0, 0, 1)$ requiere $s = 100$: $(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$. Para un objetivo fijo fuera de $W$, cuanto menor sea $|h|$, mayor debe ser $|s|$, pero siempre hay solución. Solo cuando $h$ es exactamente 0, cada plano $W + s\vec u$ coincide con $W$ y el espacio generado por $\vec v$, $\vec w$ y $\vec u$ se reduce a $W$.

Unos vectores son linealmente dependientes si alguna combinación con coeficientes no todos nulos da el vector nulo. Cuando los vectores son no nulos, la página lo dibuja como un recorrido cerrado: sus múltiplos, unidos punta con origen, vuelven a O. Equivalentemente, uno es combinación de los demás. Ningún par entre $\vec v$, $\vec w$ y $\vec u = (1, 1, 1)$ es paralelo, pero los tres son dependientes porque $\vec u$ está en $W$:

Un recorrido cerrado también significa que un punto tiene muchas recetas. Sumar un múltiplo no nulo del recorrido a una receta de T cambia los coeficientes, pero no el punto.

La dimensión del espacio generado es el máximo número de vectores independientes que se pueden elegir entre ellos.