Determinante

Una matriz 2 × 2 A = (a b; c d) es una aplicación lineal del plano. Lleva î y ĵ a sus columnas a₁ = (a, c) y a₂ = (b, d), así que el cuadrado unidad se convierte en el paralelogramo de lados a₁ y a₂. El determinante de A es el área con signo de ese paralelogramo.

El gráfico muestra el plano antes y después de A: la cuadrícula estándar con líneas tenues discontinuas, la cuadrícula que produce A en trazo oscuro y la imagen del cuadrado unidad como un paralelogramo amarillo. El pequeño arco amarillo junto al origen gira de a₁ a a₂ por el camino más corto. La bandera es una figura que acompaña la transformación: discontinua donde estaba y continua donde la coloca A.

El determinante no se limita al cuadrado unidad. Cada cuadrado de la cuadrícula se convierte en una copia del mismo paralelogramo, así que una región formada por esos cuadrados ve su área multiplicada por |det A|. Una cuadrícula más fina funciona igual. Sus pequeños cuadrados permiten aproximar cada vez mejor figuras como un disco; por eso, sus áreas también se multiplican por |det A|. Al seleccionar Círculo, el disco unidad de área π se convierte en una elipse de área |det A|·π, o en un segmento o un punto cuando det A = 0.

El signo indica si se invierte la orientación del plano. Si el giro más corto de a₁ a a₂ es antihorario, como de î a ĵ, A conserva la orientación del plano y det A > 0. Si es horario, A invierte la orientación del plano: la bandera mira hacia el otro lado, el relleno amarillo se convierte en un rayado y det A < 0. El determinante varía de forma continua con las entradas, así que no puede saltar de positivo a negativo. Arrastra a₂ al otro lado de la recta de a₁: el paralelogramo primero se aplana hasta convertirse en un segmento, donde det A = 0, y solo después invierte su orientación.

Cuando det A = 0, las columnas están en una misma recta y A aplana todo el plano sobre ella, o sobre el único punto O si A es la matriz nula. Puntos distintos acaban entonces en el mismo sitio; no hay forma de deshacerlo y, por tanto, A no tiene inversa.

¿Por qué ad − bc? Activa Construcción por cizallamiento y desliza. Un cizallamiento desliza un lado del paralelogramo a lo largo de la recta del otro. La base y la altura no cambian, así que el área tampoco. Cuando det A ≠ 0 y |a| es mayor o igual que |c|, primero se desliza a₂ en la dirección de a₁ hasta que quede vertical en (0, h), con h = d − bc/a. Después se desliza a₁ en la dirección de ese lado vertical hasta el eje x, en (a, 0). El resultado es un rectángulo de lados |a| y |h|, y su área con signo es a·h = ad − bc. Cuando |c| es mayor que |a|, la página construye el rectángulo en el otro sentido, con la misma área con signo. Si det A = 0, el paralelogramo está aplanado y no se puede construir ningún rectángulo.

Sumar a una columna un múltiplo de la otra es precisamente un cizallamiento de este tipo, así que nunca cambia el determinante.