Определитель: интерактивная визуализация

Определитель в этой визуализации

Матрица 2 × 2 вида A = (a b; c d) задаёт линейное отображение плоскости. Оно переводит î и ĵ в столбцы a₁ = (a, c) и a₂ = (b, d), поэтому единичный квадрат превращается в параллелограмм со сторонами a₁ и a₂. Определитель A — ориентированная площадь этого параллелограмма.

Формула и исходный пример на странице

\begin{gathered} \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \\[0.6ex] \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 3 \end{gathered}

На рисунке показана плоскость до и после действия A: стандартная сетка — бледным пунктиром, её образ под действием A — чернильным цветом, а образ единичного квадрата — жёлтым параллелограммом. Небольшая жёлтая дуга у начала координат идёт от a₁ к a₂ по кратчайшему пути. Флажок — преобразуемая фигура: его исходное положение показано пунктиром, а образ под действием A — сплошными линиями.

Определитель описывает не только единичный квадрат. Каждый квадрат сетки превращается в копию того же параллелограмма, поэтому площадь области из таких квадратов умножается на |det A|. Для более мелкой сетки верно то же самое. Фигуры, например круг, можно всё точнее заполнять маленькими квадратами, поэтому их площади тоже умножаются на |det A|. Если выбран Круг, единичный круг площади π превращается в эллипс площади |det A|·π, а при det A = 0 — в отрезок или точку.

Любая площадь умножается на одно и то же число

\operatorname{площадь}\bigl(A(S)\bigr) = \lvert \det A \rvert \cdot \operatorname{площадь}(S)

Знак показывает, меняется ли ориентация плоскости. Если кратчайший поворот от a₁ к a₂ направлен против часовой стрелки, как от î к ĵ, то A сохраняет ориентацию плоскости и det A > 0. Если по часовой стрелке, то A меняет ориентацию на противоположную: флажок смотрит в другую сторону, жёлтая заливка заменяется штриховкой, а det A < 0. Определитель непрерывно зависит от элементов матрицы, поэтому не может скачком перейти от положительного значения к отрицательному. Перетащите a₂ через прямую, проходящую вдоль a₁: параллелограмм сначала сожмётся в отрезок, где det A = 0, и лишь затем сменит ориентацию.

Когда det A = 0, столбцы лежат на одной прямой и A сжимает в неё всю плоскость; если A — нулевая матрица, плоскость сжимается в единственную точку O. Разные точки попадают в одно место, восстановить исходную точку невозможно, поэтому у A нет обратной матрицы.

Почему ad − bc? Включите Построение сдвигами и сдвигайте стороны. При сдвиге одна сторона параллелограмма скользит вдоль прямой другой. Основание и высота сохраняются, а значит, сохраняется и площадь. Когда det A ≠ 0 и |a| не меньше |c|, сначала a₂ сдвигается вдоль a₁ до вертикального положения (0, h), где h = d − bc/a. Затем a₁ сдвигается вдоль этой вертикальной стороны до точки (a, 0) на оси x. Получается прямоугольник со сторонами |a| и |h|; его ориентированная площадь равна a·h = ad − bc. Когда |c| больше |a|, страница строит прямоугольник в другом направлении с той же ориентированной площадью. Если det A = 0, параллелограмм вырожден и построить прямоугольник нельзя.

Два сдвига превращают параллелограмм в прямоугольник той же площади

\begin{gathered} a_2 \to a_2 - \tfrac{b}{a}\,a_1 = (0,\ h), \quad h = d - \tfrac{bc}{a} \\[0.6ex] a\cdot h = a\Bigl(d - \tfrac{bc}{a}\Bigr) = ad - bc \end{gathered}

Прибавление к одному столбцу другого, умноженного на число, — именно такой сдвиг, поэтому определитель при этом никогда не меняется.

На что обратить внимание

При включённом Построении сдвигами матрица A не меняется. Сдвигаемая копия жёлтая, а исходный параллелограмм A остаётся виден бледным пунктирным контуром.
Когда det A = 0, но A не нулевая, сплошная прямая — образ всей плоскости, а пунктирная — та, которая переходит в O. Эти прямые могут совпадать, например при A = (1 −1; 1 −1).

Связанные понятия

Дополнительные материалы: Википедия: Determinant (Английский); OpenStax, College Algebra 2e, 7.8 Solving Systems with Cramer’s Rule (Английский).