行列式

2 × 2矩阵A = (a b; c d)是平面上的一个线性变换。它把î和ĵ送到自己的两列a₁ = (a, c)和a₂ = (b, d)，于是单位正方形变成以a₁、a₂为边的平行四边形。A的行列式就是这个平行四边形的有向面积。

图上画的是A作用前后的平面：标准网格是淡色虚线，A把它变成的网格是墨色细线，单位正方形的像是黄色的平行四边形。原点附近的黄色小弧从a₁沿较近的一边转到a₂。旗子是跟着一起变换的图形，虚线是它原来的位置，实线是A把它放到的位置。

行列式说的不只是单位正方形。网格的每一个小方格都变成同样的平行四边形，所以由方格拼成的区域，面积都乘上|det A|。把网格加密也一样。圆盘这样的图形，能用越来越小的方格填得越来越满，所以它们的面积也乘上|det A|。选“圆”时，面积为π的单位圆变成面积为|det A|·π的椭圆；det A = 0时，它压成一条线段或一个点。

符号说明平面有没有被翻过来。从a₁沿较近的一边转到a₂，如果是逆时针，就像从î转到ĵ那样，A保持平面的定向，det A > 0。如果是顺时针，A就反转了平面的定向：旗子朝向反了，黄色填充变成斜线，det A < 0。行列式随矩阵的元素连续变化，不能从正数一下跳到负数。把a₂拖过a₁所在的直线，平行四边形会先压成一条线段，这时det A = 0，然后才翻过去。

det A = 0时，两列落在同一条直线上，A把整个平面压到这条线上；A是零矩阵时，就压成原点O这一个点。于是不同的点会落到同一个地方，这一步没法还原，所以A没有逆矩阵。

为什么是ad − bc？打开“剪切构造”推一推。剪切是把平行四边形的一条边沿另一条边所在的直线滑动。底和高都没变，面积也就没变。det A ≠ 0且|a|不小于|c|时，先把a₂沿a₁推，推到竖直的(0, h)，这里h = d − bc/a。再把a₁沿这条竖边推，推到x轴上的(a, 0)。结果是边长为|a|和|h|的长方形，有向面积a·h = ad − bc。|c|比|a|大时，页面换一个方向推成长方形，有向面积同样是ad − bc。如果det A = 0，平行四边形是扁的，推不成长方形。

把一列的倍数加到另一列上，正是这样一次剪切，所以行列式不会变。