叉积

空间中两个向量a、b的叉积是一个向量a × b。它的长度等于两者张成的平行四边形的面积，两个向量都不为零时，就是$|a|\,|b|\sin\theta$，θ是两者的夹角。这个面积不为0时，a × b同时垂直于a和b，方向按右手定则：右手四指从a弯向b，拇指所指就是a × b的方向。在这一页，你可以在一个房间里转动a和b，看平行四边形投在墙上的影子，这些影子恰好就是a × b的三个分量。

把平行四边形竖直投到地面上。它的影子是由$(a_1, a_2)$和$(b_1, b_2)$张成的平行四边形，带符号的面积是二阶行列式$a_1 b_2 - a_2 b_1$，也就是第三个分量。从上往下看，a的影子转到b的影子是逆时针时，符号为正。两面墙也一样，各从自己那根轴指向的一侧看：yz墙上的影子给出第一个分量，zx墙上的影子给出第二个分量。面积为负的影子是顺时针转的，页面给它画上斜线。

为什么这些影子合起来，是一个垂直于平行四边形的向量？设平行四边形没有压扁，面积为A，n是垂直于它、在右手定则那一侧的单位向量。从一面单位法向量为m的墙上看，平行四边形只在一个方向上被压扁，压成原来的$|n\cdot m|$倍，所以它在这面墙上的影子，带符号的面积是$A\,(n\cdot m)$。“一面墙上的影子”按当前的数画出这个视角。三面墙的法向量就是三根坐标轴，所以三个影子合起来是

这是一个沿n、长为A的向量。坐标公式和几何描述说的是同一件事。

交换顺序，每个影子都反着转，所以b × a = −(a × b)：叉积不满足交换律。a和b平行，或者其中一个是零向量时，平行四边形压成一条线段或一个点，每个影子的面积都是0，a × b = 0。面积不为0时，“正对板”顺着a × b看过去，平行四边形显出真实的形状；“侧看板”顺着平行四边形看过去，它成了一条线，和a × b垂直。

右手是一种约定，和房间里的右手坐标系相配：从+z一侧看，x转到y是逆时针。