Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b im Raum ist ein Vektor, a × b. Seine Länge ist der Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Parallelogramms, für von null verschiedene Vektoren also $|a|\,|b|\sin\theta$, wobei θ der Winkel zwischen ihnen ist. Ist dieser Flächeninhalt nicht 0, steht a × b senkrecht auf beiden und zeigt in Richtung des rechten Daumens, wenn sich die Finger von a nach b krümmen. Hier kannst du a und b in einem Raum drehen und die Schatten ihres Parallelogramms auf den Wänden sehen: Sie liefern die drei Komponenten von a × b.

Projiziere das Parallelogramm senkrecht nach unten auf den Boden. Sein Schatten wird von $(a_1, a_2)$ und $(b_1, b_2)$ aufgespannt. Sein vorzeichenbehafteter Flächeninhalt ist die 2 × 2-Determinante $a_1 b_2 - a_2 b_1$, die dritte Komponente. Das Vorzeichen ist +, wenn die Drehung vom Schatten von a zum Schatten von b von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn verläuft. Bei den beiden Wänden gilt dasselbe, jeweils von der Seite aus gesehen, in die ihre Achse zeigt: Der Schatten auf der yz-Wand ergibt die erste, der auf der zx-Wand die zweite Komponente. Ein Schatten mit negativem Flächeninhalt wird im Uhrzeigersinn durchlaufen und schraffiert dargestellt.

Warum ergeben die Schatten einen Vektor senkrecht zum Parallelogramm? Betrachte ein Parallelogramm mit Flächeninhalt ungleich 0. Nenne seinen Flächeninhalt A und den senkrechten Einheitsvektor auf der von der Rechte-Hand-Regel bestimmten Seite n. Von einer Wand mit Einheitsnormalenvektor m aus gesehen wird das Parallelogramm nur in einer Richtung gestaucht, mit dem Faktor $|n\cdot m|$. Sein Schatten auf dieser Wand hat deshalb den vorzeichenbehafteten Flächeninhalt $A\,(n\cdot m)$. Schatten auf einer Wand zeigt diese Ansicht mit den aktuellen Zahlen. Die Normalen der drei Wände sind die drei Achsen, daher ergeben die drei Schatten zusammen

Dies ist ein Vektor in Richtung n mit der Länge A. Die Koordinatenformel und die geometrische Beschreibung sagen dasselbe aus.

Vertauscht man die Reihenfolge, wird jeder Schatten in der anderen Richtung durchlaufen. Also gilt b × a = −(a × b): Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ. Sind a und b parallel oder ist einer von ihnen null, fällt das Parallelogramm zu einer Strecke oder einem Punkt zusammen. Jeder Schatten hat dann den Flächeninhalt 0, und a × b = 0. Ist der Flächeninhalt nicht 0, blickt Frontal direkt entlang a × b, sodass das Parallelogramm seine wahre Form zeigt. Von der Kante blickt entlang der Parallelogrammebene; das Parallelogramm erscheint als Strecke senkrecht zu a × b.

Die rechte Hand ist eine Konvention passend zu den rechtshändigen Achsen des Raums: Von +z aus gesehen verläuft die Drehung von x nach y gegen den Uhrzeigersinn.