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Lineare Algebra · Determinante

Determinante

Die Determinante einer 2 × 2-Matrix ist der orientierte Flächeninhalt des von ihren Spalten aufgespannten Parallelogramms: det A = ad − bc. Jeder Flächeninhalt der Ebene wird mit |det A| multipliziert. Ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass die Orientierung der Ebene umgekehrt wird.

Die Determinante in dieser Visualisierung

Eine 2 × 2-Matrix A = (a b; c d) ist eine lineare Abbildung der Ebene. Sie bildet î und ĵ auf ihre Spalten a₁ = (a, c) und a₂ = (b, d) ab. Das Einheitsquadrat wird so zum Parallelogramm mit Seiten a₁ und a₂. Die Determinante von A ist dessen orientierter Flächeninhalt.

Die Formel und die Voreinstellung der Seite
det⁡A=∣abcd∣=ad−bcdet⁡(2−111)=2⋅1−(−1)⋅1=3\begin{gathered} \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \\[0.6ex] \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 3 \end{gathered}

Das Bild zeigt die Ebene vor und nach A: das Standardgitter als blasse gestrichelte Linien, sein Bild unter A in dunkler Farbe und das Bild des Einheitsquadrats als gelbes Parallelogramm. Der kleine gelbe Bogen am Ursprung führt auf dem kürzeren Weg von a₁ zu a₂. Die Fahne wird mitgeführt: gestrichelt an ihrer alten Position, durchgezogen dort, wo A sie hinsetzt.

Die Determinante betrifft nicht nur das Einheitsquadrat. Jedes Gitterquadrat wird zu einer Kopie desselben Parallelogramms. Daher wird der Flächeninhalt einer aus Gitterquadraten zusammengesetzten Region mit |det A| multipliziert. Für ein feineres Gitter gilt dasselbe. Formen wie eine Kreisscheibe lassen sich mit immer kleineren Quadraten immer genauer ausfüllen; auch ihr Flächeninhalt wird deshalb mit |det A| multipliziert. Bei Kreis wird die Einheitskreisscheibe mit Flächeninhalt π zu einer Ellipse mit Flächeninhalt |det A|·π, oder bei det A = 0 zu einer Strecke oder einem Punkt.

Jeder Flächeninhalt wird mit derselben Zahl multipliziert
Fla¨cheninhalt⁡(A(S))=∣det⁡A∣⋅Fla¨cheninhalt⁡(S)\operatorname{Flächeninhalt}\bigl(A(S)\bigr) = \lvert \det A \rvert \cdot \operatorname{Flächeninhalt}(S)

Das Vorzeichen sagt, ob die Orientierung der Ebene umgekehrt wird. Führt die kürzere Drehung von a₁ zu a₂ gegen den Uhrzeigersinn, wie von î zu ĵ, erhält A die Orientierung und det A > 0. Führt sie im Uhrzeigersinn, kehrt A die Orientierung um: Die Fahne zeigt andersherum, die gelbe Füllung wird zur Schraffur, und det A < 0. Die Determinante hängt stetig von den Einträgen ab; sie kann nicht von positiv nach negativ springen. Ziehe a₂ über die Gerade durch a₁: Das Parallelogramm wird zunächst zu einer Strecke mit det A = 0 und kippt erst danach um.

Bei det A = 0 liegen die Spalten auf einer Geraden. A drückt die gesamte Ebene auf diese Gerade zusammen, bei der Nullmatrix auf den einzigen Punkt O. Verschiedene Punkte landen dann am selben Ort. Das ist nicht umkehrbar, also hat A keine Inverse.

Warum ad − bc? Schalte die Scherkonstruktion ein und schiebe. Eine Scherung verschiebt eine Seite des Parallelogramms entlang der Geraden der anderen. Grundseite und Höhe bleiben gleich, damit auch der Flächeninhalt. Bei det A ≠ 0 und |a| ≥ |c| wird zunächst a₂ entlang a₁ geschoben, bis es bei (0, h) senkrecht steht, mit h = d − bc/a. Dann wird a₁ entlang dieser senkrechten Seite bis (a, 0) auf die x-Achse geschoben. Das entstandene Rechteck hat Seitenlängen |a| und |h| und den orientierten Flächeninhalt a·h = ad − bc. Ist |c| größer als |a|, baut die Seite das Rechteck in der anderen Richtung auf, mit demselben orientierten Flächeninhalt. Bei det A = 0 ist das Parallelogramm flach; ein Rechteck lässt sich nicht aufbauen.

Zwei Scherungen erzeugen ein flächengleiches Rechteck aus dem Parallelogramm
a2→a2−ba a1=(0, h),h=d−bcaa⋅h=a(d−bca)=ad−bc\begin{gathered} a_2 \to a_2 - \tfrac{b}{a}\,a_1 = (0,\ h), \quad h = d - \tfrac{bc}{a} \\[0.6ex] a\cdot h = a\Bigl(d - \tfrac{bc}{a}\Bigr) = ad - bc \end{gathered}

Ein Vielfaches einer Spalte zur anderen zu addieren ist genau eine solche Scherung. Deshalb ändert es die Determinante nicht.

Worauf du achten kannst

  • Bei eingeschalteter Scherkonstruktion bleibt A unverändert. Die verschobene Kopie ist gelb; das ursprüngliche Parallelogramm von A bleibt als blasser gestrichelter Umriss stehen.
  • Ist det A = 0, aber A nicht die Nullmatrix, zeigt die durchgezogene Gerade, wo die gesamte Ebene landet. Die gestrichelte Gerade zeigt die Punkte, die auf O fallen. Beide Geraden können zusammenfallen, etwa bei A = (1 −1; 1 −1).

Verwandte Begriffe

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Determinant (Englisch); OpenStax, College Algebra 2e, 7.8 Solving Systems with Cramer’s Rule (Englisch).