Linearkombination

Nimm zwei Vektoren v und w und zwei Zahlen a und b. Der Vektor av + bw ist eine Linearkombination von v und w mit den Koeffizienten a und b: erst a mal v, dann b mal w. Die Koeffizienten dürfen beliebige reelle Zahlen sein. Eine Zahl zwischen 0 und 1 nimmt nur einen Teil des Pfeils; eine negative Zahl kehrt ihn um.

Mit Beliebig erscheinen die beiden Teilstrecken als dünne blaue Pfeile: a·v von O aus, dann b·w von dessen Spitze aus. Der dicke blaue Pfeil von O nach P ist ihre Summe. Die kleinen dunklen Punkte markieren Darstellungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Sind v und w nicht kollinear, bewegt eine Änderung allein von a den Punkt P parallel zu v, eine Änderung allein von b parallel zu w. Damit sind a und b die Koordinaten von P im schiefen Gitter von v und w. Die hellblaue Fläche enthält alle mit zulässigen Darstellungen erreichbaren Punkte.

Sind v und w nicht kollinear, lässt sich jeder Punkt der Ebene auf genau eine Weise als Linearkombination der beiden darstellen. Eine Konstruktion zeigt warum: Zeichne durch P die Parallele zu w. Sie schneidet die Gerade von v in genau einem Punkt, der für genau ein a gleich a·v ist. Der verbleibende Weg von a·v nach P verläuft entlang w und ist daher b·w. Parallelen zeichnet diese Konstruktion gelb ein.

Liegen v und w auf einer Geraden durch O, bleibt jede Kombination auf dieser Geraden, und das schiefe Gitter fällt auf sie zusammen. Punkte außerhalb sind unerreichbar; jeder Punkt auf ihr hat unendlich viele Darstellungen. Bei v = (2, 1) und w = −2v ist (4, 2) gleich 2v + 0w, aber auch 0v − 1w und 4v + 1w. Sind beide Vektoren null, wird nur O erreicht.

Lass die Koeffizienten nun die Summe 1 haben: a = 1 − μ und b = μ. Dann ist P − v = μ(w − v). Für v ≠ w bewegt sich P also auf der Geraden durch die beiden Spitzen. Bei μ = 0 liegt es an der Spitze von v, bei μ = 1 an der von w, dazwischen im entsprechenden Verhältnis. P liegt genau dann zwischen den Spitzen, wenn beide Gewichte mindestens 0 sind. Jenseits der Spitze von w ist das Gewicht 1 − μ von v negativ.

Sind v und w nicht kollinear und hält man stattdessen die Summe a + b = k fest, liegt P auf der Geraden durch kv in Richtung w − v, parallel zur Geraden durch die Spitzen. Die Option Gleiche Summen zeichnet diese Geraden für ganzzahlige k. Sie sind gleichmäßig verteilt, und ihr Abstand von O wächst proportional zu |k|.

Bei nicht kollinearen v und w ergeben Beschränkungen der Koeffizienten verschiedene Formen. Für a, b ≥ 0 (Winkelbereich) füllen die Darstellungen den Winkel zwischen den Strahlen von v und w. Für 0 ≤ a, b ≤ 1 (Parallelogramm) füllen sie das von v und w aufgespannte Parallelogramm. Für a, b ≥ 0 und a + b ≤ 1 (Dreieck) füllen sie das Dreieck mit O und den beiden Spitzen als Ecken.