线性组合

取两个向量v、w和两个数a、b，向量av + bw就是v、w的一个线性组合，a、b是系数：先走a个v，再走b个w。系数可以是任意实数。0和1之间的数表示只取箭头的一部分，负数表示把箭头掉过头来。

选“任意系数”时，两段腿是细的蓝色箭头：先从O画a·v，再从它的尖画b·w；从O出发的粗蓝箭头是它们的和，终点是P。墨色小点是整数系数的配方。v、w不共线时，只改a，P就平行于v移动，只改b，P就平行于w移动，所以a、b就是P在v、w织成的斜网格上的坐标。淡蓝色的一层，是允许的配方能到达的全部点。

v、w不共线时，平面上每个点都是它们的线性组合，而且配方只有一种。作图可以说明为什么。过P作w的平行线，它和v所在的直线恰好交于一点，这一点是a·v，a只有一个；剩下从a·v到P的这一段沿着w，就是b·w。“平行线”用黄色画出的就是这个作图。

v、w在同一条过O的直线上时，所有组合都留在这条线上，斜网格也叠进这条线里。线外的点到不了，线上每个点的配方都有无穷多种。v = (2, 1)、w = −2v时，点(4, 2)是2v + 0w，也是0v − 1w和4v + 1w。两个向量都是零时，只能到达O。

再让两个系数的和为1：a = 1 − μ，b = μ。这时P − v = μ(w − v)，所以v ≠ w时，P沿着过两个尖的直线移动。μ = 0时P在v的尖上，μ = 1时在w的尖上，中间按比例移动。两个权重都不小于0时，P恰好在两个尖之间。越过w的尖，v的权重1 − μ就成了负数。

v、w不共线时，改为固定a + b = k，P就在过kv、方向为w − v的直线上，这条线和过两个尖的直线平行。“等和线”画出k取整数时的这些直线。它们等距排列，到O的距离和|k|成正比。

v、w不共线时，给系数加上限制，就得到各种形状。a, b ≥ 0（“角”）时，配方填满v、w两条射线之间的角。0 ≤ a, b ≤ 1（“平行四边形”）时，填满以v、w为边的平行四边形。a, b ≥ 0且a + b ≤ 1（“三角形”）时，填满以O和两个尖为顶点的三角形。