線性組合

取兩個向量v、w與兩個數a、b。av + bw是以a、b為係數的線性組合：先走a份v，再走b份w。係數可以是任意實數。0與1之間的數只取箭頭的一部分；負數則把箭頭反向。

選取任意係數時，兩段路徑是細的藍色箭頭：從O出發走a·v，再從其尖端走b·w。從O指向P的粗藍箭頭就是兩者的和。黑色小點標示整數係數的配方。v、w不共線時，只改a，P就平行於v移動；只改b，就平行於w移動。因此a、b是P在v、w斜網格上的座標。淡藍色區域是允許的配方能到達的所有點。

v、w不共線時，平面上的每個點都能以唯一的方式表示成兩者的線性組合。作圖可以說明原因：過P作w的平行線，它與v所在直線恰好交於一點，這點恰好對應唯一的a，也就是a·v。剩下從a·v到P的路徑沿著w，所以是b·w。平行線會以黃色畫出這個作圖過程。

v、w位於通過O的同一直線上時，所有組合都留在這條直線上，斜網格也壓縮到這條直線上。直線外的點無法到達，線上每個點則有無窮多種配方。v = (2, 1)、w = −2v時，(4, 2)可以是2v + 0w，也可以是0v − 1w或4v + 1w。若兩個向量都是零向量，只能到達O。

接著讓係數和為1，令a = 1 − μ、b = μ。此時P − v = μ(w − v)，所以v ≠ w時，P沿著通過兩個尖端的直線移動。μ = 0時在v的尖端，μ = 1時在w的尖端，中間依比例移動。P位於兩個尖端之間，恰好等同於兩個權重都至少為0。越過w的尖端後，v的權重1 − μ就變成負數。

v、w不共線時，若改成固定a + b = k，P就位於通過kv、方向為w − v的直線上，與通過兩個尖端的直線平行。等和線會畫出整數k對應的這些直線。它們間距相等，到O的距離與|k|成正比。

v、w不共線時，限制係數就能得到不同形狀。a, b ≥ 0（角區域）時，配方填滿v、w兩條射線之間的角。0 ≤ a, b ≤ 1（平行四邊形）時，填滿以v、w為邊的平行四邊形。a, b ≥ 0且a + b ≤ 1（三角形）時，填滿以O與兩個尖端為頂點的三角形。