일차결합

두 벡터 v, w와 두 수 a, b를 잡습니다. 벡터 av + bw는 a와 b를 계수로 하는 v와 w의 일차결합입니다. v의 a배만큼 간 다음 w의 b배만큼 갑니다. 계수는 어떤 실수든 될 수 있습니다. 0과 1 사이의 수는 화살표의 일부를 취하고, 음수는 화살표의 방향을 뒤집습니다.

자유 계수를 고르면 두 이동 구간이 가는 파란색 화살표로 표시됩니다. O에서 a·v만큼 간 다음 그 끝에서 b·w만큼 갑니다. O에서 P로 향하는 굵은 파란 화살표가 두 벡터의 합입니다. 작은 검은 점은 정수 계수로 만든 조합을 표시합니다. v와 w가 한 직선 위에 있지 않으면 a만 바꿀 때 P는 v에 평행하게, b만 바꿀 때는 w에 평행하게 움직입니다. 따라서 a와 b는 v, w의 비스듬한 격자에서 읽은 P의 좌표입니다. 옅은 파란 영역은 허용된 조합 방법으로 도달할 수 있는 모든 점입니다.

v와 w가 한 직선 위에 있지 않으면 평면의 모든 점을 두 벡터의 일차결합으로 유일하게 나타낼 수 있습니다. 작도로 이유를 볼 수 있습니다. P를 지나고 w에 평행한 직선을 그으면 v의 직선과 정확히 한 점에서 만납니다. 그 점은 유일한 a에 대해 a·v입니다. a·v에서 P까지 남은 구간은 w의 방향이므로 b·w입니다. 평행선을 켜면 이 작도가 노란색으로 나타납니다.

v와 w가 O를 지나는 같은 직선 위에 있으면 모든 조합이 그 직선에 머물고 비스듬한 격자도 그 직선으로 납작해집니다. 직선 밖에는 도달할 수 없고, 직선 위의 각 점을 만드는 방법은 무한히 많습니다. v = (2, 1), w = −2v일 때 (4, 2)는 2v + 0w이지만 0v − 1w나 4v + 1w이기도 합니다. 두 벡터가 모두 영벡터이면 O에만 도달합니다.

이제 a = 1 − μ, b = μ로 두어 계수의 합을 1로 만듭니다. 그러면 P − v = μ(w − v)이므로 v ≠ w일 때 P는 두 끝점을 지나는 직선 위를 움직입니다. μ = 0이면 v의 끝점, μ = 1이면 w의 끝점에 있고, 그 사이는 비례해서 움직입니다. P가 두 끝점 사이에 있는 것은 두 가중치가 모두 0 이상인 것과 동치입니다. w의 끝점을 넘으면 v의 가중치 1 − μ가 음수가 됩니다.

v와 w가 한 직선 위에 있지 않을 때 대신 a + b = k를 고정하면, P는 kv를 지나고 w − v 방향인 직선에 놓입니다. 두 끝점을 지나는 직선과 평행합니다. 등합선은 정수 k에 대한 이 직선들을 그립니다. 직선 사이 간격은 같고 O에서의 거리는 |k|에 비례합니다.

v와 w가 한 직선 위에 있지 않으면 계수의 제약에 따라 도형이 생깁니다. a, b ≥ 0(각 영역)이면 v와 w의 반직선 사이를 채웁니다. 0 ≤ a, b ≤ 1(평행사변형)이면 v와 w를 변으로 하는 평행사변형을 채웁니다. a, b ≥ 0이고 a + b ≤ 1(삼각형)이면 O와 두 끝점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 채웁니다.