Линейная комбинация

Возьмём два вектора v и w и два числа a и b. Вектор av + bw — линейная комбинация векторов v и w с коэффициентами a и b: сначала a раз v, затем b раз w. Коэффициенты могут быть любыми действительными числами. Число между 0 и 1 берёт лишь часть стрелки, а отрицательное число разворачивает её.

В режиме Любые два участка пути показаны тонкими синими стрелками: a·v от O, затем b·w от конца первой стрелки. Толстая синяя стрелка от O к P — их сумма. Маленькие тёмные точки отмечают представления с целыми коэффициентами. Если v и w неколлинеарны, изменение только a двигает P параллельно v, а изменение только b — параллельно w. Поэтому a и b — координаты P в косоугольной сетке v, w. Светло-голубая область содержит все точки, достижимые с разрешёнными коэффициентами.

Если v и w неколлинеарны, каждую точку плоскости можно представить их линейной комбинацией ровно одним способом. Причину показывает построение. Проведём через P прямую, параллельную w. Она пересечёт прямую вектора v в единственной точке a·v, соответствующей единственному a. Остаток пути от a·v до P направлен вдоль w, значит, равен b·w. Кнопка Параллельные показывает это построение жёлтым.

Если v и w лежат на одной прямой через O, любая комбинация остаётся на ней, а косоугольная сетка схлопывается в эту прямую. Точки вне прямой недостижимы; каждая точка на ней имеет бесконечно много представлений. При v = (2, 1) и w = −2v точка (4, 2) равна 2v + 0w, но также 0v − 1w и 4v + 1w. Если оба вектора нулевые, достижима только O.

Теперь потребуем, чтобы сумма коэффициентов равнялась 1: a = 1 − μ, b = μ. Тогда P − v = μ(w − v), поэтому при v ≠ w точка P движется по прямой через концы векторов. При μ = 0 она находится в конце v, при μ = 1 — в конце w, а между ними проходит соответствующую долю пути. P лежит между концами тогда и только тогда, когда оба веса не меньше 0. За концом w вес 1 − μ при v становится отрицательным.

Если v и w неколлинеарны, то при фиксированной сумме a + b = k точка P лежит на прямой через kv с направлением w − v, параллельной прямой через концы векторов. Режим Равные суммы рисует эти прямые для целых k. Они расположены на равных расстояниях друг от друга, а расстояние от O пропорционально |k|.

Для неколлинеарных v и w ограничения на коэффициенты задают фигуры. При a, b ≥ 0 (Угол) комбинации заполняют угол между лучами v и w. При 0 ≤ a, b ≤ 1 (Параллелограмм) они заполняют параллелограмм на v и w. При a, b ≥ 0 и a + b ≤ 1 (Треугольник) они заполняют треугольник с вершинами O и концами двух векторов.