Combinación lineal

Toma dos vectores v y w y dos números a y b. El vector av + bw es una combinación lineal de v y w con coeficientes a y b: recorre primero a·v y después b·w. Los coeficientes pueden ser números reales cualesquiera. Un número entre 0 y 1 toma una parte de la flecha; un número negativo invierte su sentido.

Con Libres seleccionado, los dos tramos son flechas azules finas: a·v desde O y después b·w desde su punta. La flecha azul gruesa que va de O a P es su suma. Los pequeños puntos oscuros marcan las recetas con coeficientes enteros. Si v y w no son colineales, cambiar solo a mueve P paralelamente a v, y cambiar solo b lo mueve paralelamente a w. Así, a y b son las coordenadas de P en la cuadrícula oblicua de v y w. La región azul claro contiene todos los puntos alcanzables con las recetas permitidas.

Si v y w no son colineales, cada punto del plano es una combinación lineal de ellos de una única manera. Una construcción muestra por qué. Traza por P la paralela a w: corta la recta de v en un único punto, que es a·v para un único a. El resto del recorrido, desde a·v hasta P, va en la dirección de w, así que es b·w. La opción Paralelas dibuja esta construcción en amarillo.

Si v y w están en una misma recta por O, todas las combinaciones permanecen en ella y la cuadrícula oblicua se aplasta sobre esa recta. Los puntos exteriores son inalcanzables, y cada punto de la recta tiene infinitas recetas. Con v = (2, 1) y w = −2v, el punto (4, 2) es 2v + 0w, pero también 0v − 1w y 4v + 1w. Si ambos vectores son nulos, solo se alcanza O.

Ahora impón que los coeficientes sumen 1, con a = 1 − μ y b = μ. Entonces P − v = μ(w − v), así que, si v ≠ w, P se mueve por la recta que pasa por las dos puntas. Está en la punta de v cuando μ = 0, en la de w cuando μ = 1, y avanza proporcionalmente entre ambas. P está entre las puntas si y solo si los dos pesos son al menos 0. Más allá de la punta de w, el peso 1 − μ de v es negativo.

Si v y w no son colineales, fijar en cambio a + b = k sitúa P en la recta por kv con dirección w − v, paralela a la recta por las puntas. La opción Sumas iguales dibuja estas rectas para los enteros k. Están espaciadas uniformemente y su distancia a O es proporcional a |k|.

Si v y w no son colineales, restringir los coeficientes produce distintas figuras. Con a, b ≥ 0 (Sector angular), las recetas llenan el ángulo entre las semirrectas de v y w. Con 0 ≤ a, b ≤ 1 (Paralelogramo), llenan el paralelogramo formado por v y w. Con a, b ≥ 0 y a + b ≤ 1 (Triángulo), llenan el triángulo cuyos vértices son O y las dos puntas.