التركيب الخطي

خذ متجهين ⁦v⁩ و⁦w⁩ وعددين ⁦a⁩ و⁦b⁩. المتجه ⁦av + bw⁩ هو تركيب خطي للمتجهين ⁦v⁩ و⁦w⁩ بمعاملين ⁦a⁩ و⁦b⁩: نتحرك أولًا بمقدار ⁦a⁩ مرة من ⁦v⁩، ثم ⁦b⁩ مرة من ⁦w⁩. يمكن أن يكون المعاملان أي عددين حقيقيين. يأخذ العدد بين 0 و1 جزءًا من السهم، ويعكس العدد السالب اتجاهه.

عند اختيار حرة، تظهر مرحلتا الحركة بسهمين رفيعين أزرقين: ⁦a·v⁩ من ⁦O⁩، ثم ⁦b·w⁩ من رأس الأول. السهم الأزرق السميك من ⁦O⁩ إلى ⁦P⁩ هو مجموعهما. تشير النقاط الداكنة الصغيرة إلى التمثيلات ذات المعاملات الصحيحة. إذا لم يكن ⁦v⁩ و⁦w⁩ على استقامة واحدة، فإن تغيير ⁦a⁩ وحده يحرك ⁦P⁩ موازيًا للمتجه ⁦v⁩، وتغيير ⁦b⁩ وحده يحركها موازيًا للمتجه ⁦w⁩. لذا فإن ⁦a⁩ و⁦b⁩ هما إحداثيا ⁦P⁩ في الشبكة المائلة للمتجهين ⁦v⁩ و⁦w⁩. والمنطقة الزرقاء الفاتحة تضم كل ما تبلغه التمثيلات المسموح بها.

إذا لم يكن ⁦v⁩ و⁦w⁩ على استقامة واحدة، فإن كل نقطة في المستوى تُكتب تركيبًا خطيًا لهما بطريقة واحدة فقط. يوضح إنشاء هندسي السبب: ارسم من ⁦P⁩ مستقيمًا موازيًا للمتجه ⁦w⁩. يقطع مستقيم ⁦v⁩ في نقطة واحدة هي ⁦a·v⁩ لقيمة واحدة من ⁦a⁩. أما بقية الطريق من ⁦a·v⁩ إلى ⁦P⁩ فتسير على امتداد ⁦w⁩، أي إنها ⁦b·w⁩. يرسم خيار المستقيمات المتوازية هذا الإنشاء بالأصفر.

إذا وقع ⁦v⁩ و⁦w⁩ على مستقيم واحد يمر بالنقطة ⁦O⁩، بقي كل تركيب على ذلك المستقيم وانطبقت عليه الشبكة المائلة. لا يمكن بلوغ النقاط خارجه، ولكل نقطة عليه تمثيلات لا نهائية. عند ⁦v = (2, 1)⁩ و⁦w = −2v⁩، تكون النقطة ⁦(4, 2)⁩ هي ⁦2v + 0w⁩، وكذلك ⁦0v − 1w⁩ و⁦4v + 1w⁩. إذا كان المتجهان صفريين، فلا يمكن بلوغ إلا ⁦O⁩.

اجعل الآن مجموع المعاملين 1، بوضع ⁦a = 1 − μ⁩ و⁦b = μ⁩. عندئذ ⁦P − v = μ(w − v)⁩؛ لذا إذا كان ⁦v ≠ w⁩ تحركت ⁦P⁩ على المستقيم المار برأسي السهمين. تكون عند رأس ⁦v⁩ حين ⁦μ = 0⁩، وعند رأس ⁦w⁩ حين ⁦μ = 1⁩، وتقطع بينهما جزءًا من الطريق تحدده ⁦μ⁩. تقع ⁦P⁩ بين الرأسين إذا وفقط إذا كان كلا الوزنين لا يقل عن 0. بعد رأس ⁦w⁩، يصبح وزن ⁦v⁩، وهو ⁦1 − μ⁩، سالبًا.

إذا لم يكن ⁦v⁩ و⁦w⁩ على استقامة واحدة، فإن تثبيت المجموع عند ⁦a + b = k⁩ بدلًا من ذلك يضع ⁦P⁩ على المستقيم المار بالنقطة ⁦kv⁩ في اتجاه ⁦w − v⁩، موازيًا للمستقيم المار بالرأسين. يرسم خيار مجاميع متساوية هذه المستقيمات لقيم ⁦k⁩ الصحيحة. تتساوى المسافات بينها، ويتناسب بُعدها عن ⁦O⁩ مع ⁦|k|⁩.

عندما لا يكون ⁦v⁩ و⁦w⁩ على استقامة واحدة، تعطي القيود على المعاملات أشكالًا. مع ⁦a, b ≥ 0⁩ (منطقة زاوية)، تملأ التمثيلات الزاوية بين شعاعي ⁦v⁩ و⁦w⁩. ومع ⁦0 ≤ a, b ≤ 1⁩ (متوازي أضلاع)، تملأ متوازي الأضلاع المبني على ⁦v⁩ و⁦w⁩. ومع ⁦a, b ≥ 0⁩ و⁦a + b ≤ 1⁩ (مثلث)، تملأ المثلث الذي رؤوسه ⁦O⁩ ورأسا السهمين.