نظام المعادلات الخطية

يطلب نظام المعادلات الخطية قيمًا للمجاهيل تجعل عدة معادلات خطية صحيحة في آن واحد. اجمع المعاملات في مصفوفة ⁦A⁩، والمجاهيل في متجه ⁦x⁩، والأطراف اليمنى في متجه ⁦b⁩، فيصبح النظام كله ⁦Ax = b⁩. تعمل الصفحة بأنظمة مربعة: معادلتان في ⁦x⁩ و⁦y⁩، أو ثلاث في ⁦x⁩ و⁦y⁩ و⁦z⁩، وترسم كل نظام مرتين: مرة بالصفوف ومرة بالأعمدة.

عند القراءة بـالصفوف، تكون المعادلة في ⁦x⁩ و⁦y⁩ ذات معامل غير صفري واحد على الأقل مستقيمًا، ويكون الحل نقطة تحقق كل معادلة. وعند القراءة بـالأعمدة، تقول المعادلات نفسها إن ⁦x⁩ مضروبًا في العمود الأول ⁦a₁⁩، زائد ⁦y⁩ مضروبًا في العمود الثاني ⁦a₂⁩، يعطي ⁦b⁩. إذن يعرض الرسمان زوج الأعداد نفسه: إحداثيا التقاطع على اليسار هما معاملا تمثيل ⁦b⁩ على اليمين. للرسم الأيمن محوران ① و②، أحدهما لكل معادلة، لذا فنقاطه أطراف يمنى، وليست قيم ⁦x⁩ و⁦y⁩.

للنظام الخطي حل واحد فقط، أو لا حل، أو عدد لا نهائي من الحلول. إذا كان ⁦det A ≠ 0⁩، فله حل واحد مهما كان ⁦b⁩. وإذا كان ⁦det A = 0⁩، فالصفوف مرتبطة خطيًا وكذلك الأعمدة، ويفقد المنظوران الحل الوحيد في اللحظة نفسها. على اليسار تصبح المستقيمات متوازية أو متطابقة، ما لم تكن معادلة قد فقدت جميع معاملاتها. وعلى اليمين تقع الأعمدة على مستقيم واحد، فلا يعود الوصول إلى بعض الأطراف اليمنى ممكنًا. إذا كان ⁦b⁩ أحدها، تتناقض المعادلات وينتهي الحذف بمعادلة مستحيلة مثل ⁦0 = 1⁩. وإلا فعدد الحلول لا نهائي.

ينفّذ حذف المجاهيل حذف غاوس–جوردان خطوة بخطوة. يحوّل النظام إلى آخر أبسط له الحلول نفسها تمامًا. تضيف كل خطوة مضاعف معادلة إلى أخرى، أو تضرب معادلة في عدد غير صفري، أو تبدّل معادلتين. يمكن عكس كل خطوة، لذا لا يُفقد أي حل ولا يُضاف حل جديد. عند إضافة مضاعف معادلة إلى أخرى، إن كان المستقيمان متقاطعين دار المستقيم المتغيّر حول التقاطع، فيبقى الحل ثابتًا. وإن كانا متوازيين اندفع إلى ما لا نهاية تاركًا ⁦0 = c⁩. وإن كانا المستقيم نفسه بقي في مكانه وصار ⁦0 = 0⁩. في منظور الأعمدة تكون الخطوة نفسها قصًّا، وتبقى معاملات التمثيل كما هي. تظهر المبادلات والضرب في عدد سالب كقفزات، لأن تنفيذها تدريجيًا قد يمرّ بأنظمة ذات حلول أخرى.

قد يكون الحل الوحيد شديد الحساسية رغم ذلك. عندما يكون المستقيمان شبه متوازيين، يمكن لتغيير طرف أيمن بمقدار ⁦0.01⁩ أن ينقل التقاطع مسافة كبيرة.

مع ثلاثة مجاهيل، تمثّل المعادلة ذات معامل غير صفري واحد على الأقل مستوى. قد تتقاطع ثلاثة مستويات في نقطة، أو مستقيم، أو مستوى كامل، أو لا يكون لها تقاطع مشترك. قد لا توجد نقطة مشتركة حتى إن لم يتوازَ أي مستويين: يتقاطع كل زوج حينئذ في مستقيم، وتسير المستقيمات الثلاثة متجاورة كأحرف منشور. يدور كلا المنظرين في الفضاء معًا فقط لتسهيل المقارنة، لا لأن محاورهما متطابقة.