Système d’équations linéaires

Un système d’équations linéaires cherche les valeurs des inconnues qui rendent plusieurs équations linéaires vraies à la fois. Regroupez les coefficients dans une matrice A, les inconnues dans un vecteur x et les seconds membres dans un vecteur b : tout le système devient Ax = b. Cette page traite des systèmes carrés, deux équations en x et y ou trois en x, y et z, et représente chaque système deux fois : par lignes et par colonnes.

Par lignes, une équation en x et y dont au moins un coefficient est non nul représente une droite, et une solution est un point qui vérifie toutes les équations. Par colonnes, les mêmes équations disent que x fois la première colonne a₁, plus y fois la deuxième colonne a₂, donne b. Les deux vues montrent donc le même couple de nombres : l’intersection à gauche est le dosage qui produit b à droite. La vue de droite a pour axes ① et ②, un par équation : ses points représentent des seconds membres, et non des valeurs de x et y.

Un système linéaire admet une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions. Si det A ≠ 0, la solution est unique quel que soit b. Si det A = 0, les lignes sont liées, tout comme les colonnes : les deux vues dégénèrent donc au même moment. À gauche, les droites deviennent parallèles ou se confondent, sauf si une équation a perdu tous ses coefficients. À droite, les colonnes deviennent colinéaires, rendant certains seconds membres inaccessibles. Si b en fait partie, les équations se contredisent et l’élimination aboutit à une équation impossible, comme 0 = 1. Sinon, il existe une infinité de solutions.

L’option Éliminer effectue l’élimination de Gauss–Jordan étape par étape. Elle transforme le système en un système plus simple qui possède exactement les mêmes solutions. Chaque étape ajoute à une équation un multiple d’une autre, multiplie une équation par un nombre non nul ou échange deux équations. Chaque opération est réversible : aucune solution n’est perdue ni ajoutée. Lorsqu’on ajoute un multiple d’une équation à une autre et que les droites sont sécantes, la droite modifiée tourne autour de l’intersection : la solution ne bouge donc pas. Si les droites sont parallèles, elle part vers l’infini et laisse 0 = c. Si les deux droites sont confondues, elle reste en place et devient 0 = 0. Dans la vue par colonnes, la même étape est un cisaillement et le dosage ne change pas. Les échanges et les multiplications par un nombre négatif sont représentés par des sauts : les effectuer progressivement pourrait faire passer par des systèmes ayant d’autres solutions.

Une solution unique peut néanmoins être très sensible. Lorsque deux droites sont presque parallèles, une variation de 0.01 d’un second membre peut déplacer fortement l’intersection.

Avec trois inconnues, une équation dont au moins un coefficient est non nul représente un plan. Trois plans peuvent avoir en commun un point, une droite, un plan entier, ou rien. Ils peuvent n’avoir aucun point commun même sans aucune paire de plans parallèles : chaque paire se coupe alors selon une droite, et les trois droites sont parallèles, comme les arêtes d’un prisme. Les deux vues 3D tournent ensemble uniquement pour faciliter leur comparaison ; leurs axes ne correspondent pas pour autant.