Doğrusal denklem sistemi

Bir doğrusal denklem sistemi, birkaç doğrusal denklemi aynı anda doğru kılan bilinmeyen değerlerini arar. Katsayıları A matrisinde, bilinmeyenleri x vektöründe, sağ tarafları da b vektöründe topladığınızda bütün sistem Ax = b olur. Bu sayfa, x ve y cinsinden iki denklem ya da x, y ve z cinsinden üç denklem içeren kare sistemlerle çalışır ve her sistemi iki kez çizer: satırlar ve sütunlar üzerinden.

Satırlar üzerinden okunduğunda, x ve y cinsinden en az bir katsayısı 0’dan farklı olan bir denklem bir doğrudur; çözüm ise her denklemi sağlayan bir noktadır. Sütunlar üzerinden okunduğunda aynı denklemler, birinci sütun a₁’in x ile çarpımı ile ikinci sütun a₂’nin y ile çarpımının toplamının b olduğunu söyler. Dolayısıyla iki görünüm aynı sayı çiftini gösterir: soldaki kesişimin koordinatları, sağda b’yi oluşturan birleşimin katsayılarıdır. Sağdaki görünümün, her denkleme bir tane olmak üzere ① ve ② eksenleri vardır; noktaları x ve y değerlerini değil, sağ tarafları gösterir.

Bir doğrusal sistemin tek bir çözümü, hiç çözümü veya sonsuz sayıda çözümü vardır. det A ≠ 0 ise b ne olursa olsun tek bir çözüm vardır. det A = 0 ise hem satırlar hem de sütunlar bağımlıdır ve her iki görünüm aynı anda tek çözümünü kaybeder. Solda, bir denklemin bütün katsayıları sıfırlanmadıysa doğrular paralel olur veya üst üste gelir. Sağda sütunlar tek bir doğruya düşer; dolayısıyla bazı sağ taraflara artık ulaşılamaz. b bunlardan biriyse denklemler birbiriyle çelişir ve eleme, 0 = 1 gibi olanaksız bir denklemle biter. Aksi durumda sonsuz sayıda çözüm vardır.

Eleme yap, Gauss–Jordan elemesini adım adım yürütür. Sistemi, tam olarak aynı çözümlere sahip daha basit bir sisteme dönüştürür. Her adım bir denklemin katını diğerine ekler, bir denklemi sıfırdan farklı bir sayıyla çarpar veya iki denklemin yerini değiştirir. Her adım geri alınabildiğinden ne bir çözüm kaybolur ne de yeni bir çözüm eklenir. Bir denklemin katı diğerine eklenirken doğrular kesişiyorsa değişen doğru kesişim çevresinde döner; çözüm bu nedenle hiç kıpırdamaz. Doğrular paralelse doğru sonsuza doğru kayar ve geriye 0 = c kalır. Aynı doğruysalar yerinde kalır ve 0 = 0 olur. Sütun görünümünde aynı adım bir kaymadır ve birleşimin katsayıları değişmez. Yer değiştirmeler ve negatif sayıyla çarpmalar sıçrama olarak gösterilir; çünkü bunları yavaşça yapmak, farklı çözümleri olan sistemlerden geçilmesine yol açabilir.

Tek bir çözüm yine de çok duyarlı olabilir. İki doğru neredeyse paralelken bir sağ tarafı 0,01 değiştirmek, kesişimi çok uzağa taşıyabilir.

Üç bilinmeyenle, en az bir katsayısı 0’dan farklı olan bir denklem bir düzlemdir. Üç düzlemin ortak kesişimi bir nokta, bir doğru veya bütün bir düzlem olabilir; ortak kesişimleri olmayabilir de. Hiçbir düzlem çifti paralel olmasa bile ortak noktaları olmayabilir: bu durumda her çift bir doğru boyunca kesişir ve üç doğru bir prizmanın ayrıtları gibi yan yana uzanır. İki 3B görünüm yalnızca karşılaştırmayı kolaylaştırmak için birlikte döner; eksenleri aynı değildir.