Math

Doğrusal Cebir · Doğrusal germe

Doğrusal germe

Vektörlerin gerdiği uzay, tüm doğrusal birleşimlerinin kümesidir. Uzayda aynı doğru üzerinde olmayan iki vektör, başlangıç noktasından geçen bir düzlem gerer. Üçüncü vektör ancak bu düzlemden az da olsa dışarı taşarsa bir boyut ekler. Düzlemin içindeyse yeni bir şey eklemez ve üç vektör doğrusal bağımlıdır.

Bu görselleştirmede doğrusal germe

Vektörlerin gerdiği uzay, katsayıları herhangi bir gerçek sayı olabilen tüm doğrusal birleşimlerinin kümesidir. Başlangıç noktası O her zaman bu kümededir. Üç boyutlu uzayda küme yalnızca O, O noktasından geçen bir doğru veya düzlem ya da uzayın tamamı olabilir.

Üç vektörün gerdiği uzay
span⁡(v⃗,w⃗,u⃗)={ c1v⃗+c2w⃗+c3u⃗  :  c1,c2,c3∈R }\operatorname{span}(\vec v, \vec w, \vec u) = \{\, c_1\vec v + c_2\vec w + c_3\vec u \;:\; c_1, c_2, c_3 \in \mathbb R \,\}

İlk görünümde O noktasından geçen cam disk WW, yani v⃗\vec v ve w⃗\vec w vektörlerinin gerdiği uzaydır. Üzerindeki ızgaranın kesişimleri tam sayı katsayılı c1v⃗+c2w⃗c_1\vec v + c_2\vec w birleşimleridir; düzlem sonsuza uzandığı için kenarı silikleşir. Daha soluk diskler, tam sayı kk değerleri için W+ku⃗W + k\vec u katmanlarıdır. Mavi disk, T hedefinden geçen W+su⃗W + s\vec u düzlemidir. İnce mavi oklar O noktasından T noktasına sırayla c1v⃗c_1\vec v, c2w⃗c_2\vec w, su⃗s\vec u boyunca gider. u⃗\vec u ucundan WW düzlemine inen kırmızı parçanın uzunluğu ∣h∣|h| olur; hh, u⃗\vec u vektörünün düzleme göre işaretli yüksekliğidir.

Üçüncü vektör nasıl tam bir boyut ekler? v⃗\vec v, w⃗\vec w ve u⃗\vec u vektörlerinin her birleşimi, WW üzerindeki bir noktanın u⃗\vec u vektörünün ss katı kadar ötelenmesidir. Bu yüzden gerilen uzay, tüm gerçek ss değerleri için W+su⃗W + s\vec u düzlemlerinin birleşimidir. u⃗\vec u, WW dışında olduğunda ss ve s+1s + 1 değerlerine karşılık gelen düzlemler ∣h∣|h| kadar ayrıdır. ss tüm gerçek sayıları dolaşırken düzlemler tüm uzayı tarar.

Şimdi u⃗\vec u vektörünü düzlemin hemen dışında kalana kadar indirin. Başlangıç değerleri v⃗=(2,1,0)\vec v = (2, 1, 0) ve w⃗=(0,1,2)\vec w = (0, 1, 2) iken u⃗=(1,1,1.01)\vec u = (1, 1, 1.01), WW düzleminden yaklaşık 0.004 uzaktadır ama gerilen uzay hâlâ tüm uzaydır. (0,0,1)(0, 0, 1) noktasına ulaşmak için s=100s = 100 gerekir: (0,0,1)=−50v⃗−50w⃗+100u⃗(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u. WW dışındaki sabit bir hedef için ∣h∣|h| küçüldükçe ∣s∣|s| büyümelidir; yine de her zaman bir çözüm vardır. Yalnızca hh tam olarak 0 olduğunda her W+su⃗W + s\vec u düzlemi WW ile çakışır; v⃗\vec v, w⃗\vec w ve u⃗\vec u vektörlerinin gerdiği uzay yeniden WW olur.

Katsayılarından en az biri sıfırdan farklı olan bir birleşimleri sıfır vektörünü veriyorsa vektörler doğrusal bağımlıdır. Vektörler sıfırdan farklıysa sayfa bunu kapalı bir yol olarak çizer: vektörlerin katları uç uca eklendiğinde O noktasına dönülür. Eşdeğer olarak, vektörlerden biri diğerlerinin bir birleşimidir. v⃗\vec v, w⃗\vec w ve u⃗=(1,1,1)\vec u = (1, 1, 1) arasındaki hiçbir ikili paralel değildir; ancak u⃗\vec u, WW içinde olduğu için üçü bağımlıdır:

W içindeki üçüncü vektör yolu kapatır
12v⃗+12w⃗−u⃗=0⃗,u⃗=12v⃗+12w⃗\tfrac12\vec v + \tfrac12\vec w - \vec u = \vec 0, \qquad \vec u = \tfrac12\vec v + \tfrac12\vec w

Kapalı yol, bir noktanın birçok tarifi olması demektir. T tarifine kapalı yolun sıfırdan farklı bir katını eklemek katsayıları değiştirir, noktayı değiştirmez.

Gerilen uzayın boyutu, verilen vektörler arasından seçilebilecek doğrusal bağımsız vektörlerin en büyük sayısıdır.

Dikkat edilecekler

  • Perspektifte bir uç, aslında dışında kaldığı düzleme değiyormuş gibi görünebilir. Kırmızı parça ve yükseklik okuması bunu ayırt eder; Yandan görünümü WW düzlemini tek bir doğru olarak gösterir.

Kontroller

  • Üçüncü vektör u altındaki kırmızı sürgü u⃗\vec u vektörünü düzleme dik olarak dışarı veya tekrar içeri taşır ve 0 noktasında takılır. p ve q tekerlekleri u⃗\vec u vektörünü kendi katmanı içinde hareket ettirir.

İlgili kavramlar

Ek okumalar: Vikipedi: Linear span (İngilizce); Vikipedi: Linear independence (İngilizce).