Rentang linear

Rentang linear sejumlah vektor adalah himpunan semua kombinasi linearnya, dengan koefisien berupa bilangan real sembarang. Rentang selalu memuat titik asal O. Dalam ruang tiga dimensi, rentang dapat berupa O saja, garis atau bidang melalui O, atau seluruh ruang.

Pada tampilan awal, cakram kaca melalui O adalah $W$, rentang $\vec v$ dan $\vec w$. Persilangan kisi yang terukir adalah kombinasi berkoefisien bulat $c_1\vec v + c_2\vec w$; tepinya memudar karena bidang berlanjut tanpa batas. Cakram yang lebih samar adalah lapisan $W + k\vec u$ untuk bilangan bulat $k$, sedangkan cakram biru adalah bidang $W + s\vec u$ melalui target T. Rangkaian panah biru tipis berjalan dari O ke T: $c_1\vec v$, lalu $c_2\vec w$, lalu $s\vec u$. Ruas merah dari ujung $\vec u$ turun ke $W$ memiliki panjang $|h|$, dengan $h$ sebagai tinggi bertanda dari $\vec u$ terhadap bidang.

Mengapa vektor ketiga dapat menambah satu dimensi penuh? Setiap kombinasi $\vec v$, $\vec w$, dan $\vec u$ adalah titik pada $W$ yang digeser sebesar $s$ kali $\vec u$. Jadi rentangnya adalah gabungan bidang $W + s\vec u$ untuk semua nilai real $s$. Jika $\vec u$ di luar $W$, bidang pada $s$ dan $s + 1$ berjarak $|h|$. Ketika $s$ mencakup semua bilangan real, bidang-bidang itu menyapu seluruh ruang.

Sekarang turunkan $\vec u$ hingga hanya sedikit di luar bidang. Dengan nilai awal $\vec v = (2, 1, 0)$ dan $\vec w = (0, 1, 2)$, $\vec u = (1, 1, 1.01)$ berjarak sekitar 0.004 dari $W$, tetapi rentangnya tetap seluruh ruang. Untuk mencapai $(0, 0, 1)$ diperlukan $s = 100$: $(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$. Untuk target tetap di luar $W$, makin kecil $|h|$, makin besar $|s|$ yang diperlukan, tetapi solusi selalu ada. Hanya ketika $h$ tepat 0, setiap bidang $W + s\vec u$ tetap menjadi $W$ dan rentang $\vec v$, $\vec w$, serta $\vec u$ kembali menjadi $W$.

Vektor-vektor bergantung linear jika ada kombinasi dengan koefisien yang tidak semuanya nol yang menghasilkan vektor nol. Jika vektornya tidak nol, halaman ini menggambarkannya sebagai lintasan tertutup: kelipatan vektor disambung ujung ke pangkal hingga kembali ke O. Setara dengan itu, salah satu vektor merupakan kombinasi vektor lainnya. Tidak ada pasangan dari $\vec v$, $\vec w$, dan $\vec u = (1, 1, 1)$ yang sejajar, tetapi ketiganya bergantung linear karena $\vec u$ berada dalam $W$:

Lintasan tertutup juga berarti satu titik mempunyai banyak resep. Menambahkan kelipatan tak nol dari lintasan ke resep T mengubah koefisien, tetapi tidak mengubah titiknya.

Dimensi rentang adalah jumlah terbesar vektor bebas linear yang dapat dipilih di antara vektor-vektor tersebut.