张成空间

几个向量的张成，是它们所有线性组合构成的集合，系数可以取任意实数。张成总含有原点O；在空间里，它要么只有O，要么是过O的一条直线或一张平面，要么是整个空间。

开页的画面里，过O的玻璃圆盘是$W$，也就是$\vec v$和$\vec w$的张成。盘上刻线的交点是整数系数的组合$c_1\vec v + c_2\vec w$；平面无限延伸，所以盘边是渐渐淡出的。淡一些的圆盘是各层$W + k\vec u$，$k$取整数；蓝色的圆盘是过目标点T的平面$W + s\vec u$。一串细细的蓝箭头，先$c_1\vec v$，再$c_2\vec w$，再$s\vec u$，从O走到T。从$\vec u$的尖垂直落到$W$上的红色线段长$|h|$，$h$是$\vec u$离平面的有向高度。

为什么第三个向量能多出整整一维？$\vec v$、$\vec w$、$\vec u$的每个组合，都是$W$上的一点再沿$\vec u$移动某个倍数$s$，所以张成就是所有平面$W + s\vec u$合在一起，$s$取遍实数。$\vec u$不在$W$上时，$s$与$s + 1$对应的两张平面相距$|h|$；$s$取遍所有实数，这些平面就扫过整个空间。

现在把$\vec u$往下压，直到它离平面只差一点点。默认的$\vec v = (2, 1, 0)$、$\vec w = (0, 1, 2)$下，$\vec u = (1, 1, 1.01)$离$W$只有约0.004，张成却仍是整个空间。要到达$(0, 0, 1)$，得取$s = 100$：$(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$。对$W$外一个固定的目标，$|h|$越小，$|s|$就得越大，但总有解。只有$h$恰好为0时，每张平面$W + s\vec u$都还是$W$，$\vec v$、$\vec w$、$\vec u$的张成才退回$W$。

如果几个向量有一个系数不全为0的组合等于零向量，它们就线性相关。向量都非零时，画面把它画成一个闭合回路：把这些向量的倍数首尾相接，能走回O。换句话说，其中某个向量是其余向量的组合。$\vec v$、$\vec w$和$\vec u = (1, 1, 1)$两两都不平行，三个却线性相关，因为$\vec u$就在$W$里：

有了回路，一个点的配方也就不止一种：把回路的任意非零倍数加到T的配方上，系数变了，点却不变。

张成的维数，是这些向量里最多能挑出几个线性无关的。