Lineare Hülle

Der Spann von Vektoren ist die Menge aller ihrer Linearkombinationen mit beliebigen reellen Koeffizienten. Er enthält immer den Ursprung O und ist im dreidimensionalen Raum entweder nur O, eine Gerade oder Ebene durch O oder der ganze Raum.

Zu Beginn zeigt die Glasscheibe durch O die Ebene $W$, den Spann von $\vec v$ und $\vec w$. Die Kreuzungen des eingravierten Gitters sind die Kombinationen $c_1\vec v + c_2\vec w$ mit ganzzahligen Koeffizienten. Der Rand verblasst, weil die Ebene unendlich weitergeht. Die blasseren Scheiben sind die Schichten $W + k\vec u$ für ganze Zahlen $k$, die blaue Scheibe ist die Ebene $W + s\vec u$ durch den Zielpunkt T. Dünne blaue Pfeile führen von O nach T: erst $c_1\vec v$, dann $c_2\vec w$, dann $s\vec u$. Die rote Strecke von der Spitze von $\vec u$ hinunter zu $W$ hat die Länge $|h|$; $h$ ist die vorzeichenbehaftete Höhe von $\vec u$ über der Ebene.

Warum kann ein dritter Vektor eine ganze Dimension hinzufügen? Jede Kombination von $\vec v$, $\vec w$ und $\vec u$ ist ein Punkt von $W$, verschoben um das $s$-Fache von $\vec u$. Der Spann ist daher die Vereinigung der Ebenen $W + s\vec u$ für alle reellen $s$. Liegt $\vec u$ außerhalb von $W$, haben die Ebenen zu $s$ und $s + 1$ den Abstand $|h|$. Durchläuft $s$ alle reellen Zahlen, überstreichen die Ebenen den ganzen Raum.

Senke nun $\vec u$, bis der Vektor nur noch knapp außerhalb der Ebene liegt. Bei den Standardvektoren $\vec v = (2, 1, 0)$ und $\vec w = (0, 1, 2)$ liegt $\vec u = (1, 1, 1.01)$ etwa 0.004 neben $W$, doch der Spann bleibt der ganze Raum. Um $(0, 0, 1)$ zu erreichen, braucht man $s = 100$: $(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$. Für ein festes Ziel außerhalb von $W$ muss $|s|$ umso größer sein, je kleiner $|h|$ ist; eine Lösung gibt es weiterhin. Erst wenn $h$ genau 0 ist, bleibt jede Ebene $W + s\vec u$ gleich $W$, und der Spann von $\vec v$, $\vec w$ und $\vec u$ fällt auf $W$ zurück.

Vektoren sind linear abhängig, wenn eine ihrer Linearkombinationen mit nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten den Nullvektor ergibt. Sind die Vektoren ungleich null, zeigt die Seite dies als geschlossenen Weg: Ihre Vielfachen werden Spitze an Anfang aneinandergesetzt und führen zurück nach O. Gleichbedeutend damit ist, dass sich einer der Vektoren als Kombination der übrigen schreiben lässt. Keine zwei von $\vec v$, $\vec w$ und $\vec u = (1, 1, 1)$ sind parallel, und doch sind die drei abhängig, weil $\vec u$ in $W$ liegt:

Ein geschlossener Weg bedeutet auch, dass ein Punkt viele Darstellungen hat. Addiert man ein von null verschiedenes Vielfaches dieses Wegs zu einer Darstellung von T, ändern sich die Koeffizienten, aber nicht der Punkt.

Die Dimension des Spanns ist die größte Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die sich aus den gegebenen Vektoren auswählen lässt.