Espaço gerado

O espaço gerado por vetores é o conjunto de todas as suas combinações lineares, com coeficientes reais quaisquer. Contém sempre a origem O e, em três dimensões, pode ser apenas O, uma reta ou um plano que passa por O, ou todo o espaço.

Na vista inicial, o disco de vidro que passa por O é $W$, o espaço gerado por $\vec v$ e $\vec w$. Os cruzamentos da grelha gravada são as combinações de coeficientes inteiros $c_1\vec v + c_2\vec w$; a borda desvanece-se porque o plano se prolonga indefinidamente. Os discos mais ténues são as camadas $W + k\vec u$ para inteiros $k$; o disco azul é o plano $W + s\vec u$ que passa pelo alvo T. Uma cadeia de setas azuis finas segue de O até T: $c_1\vec v$, depois $c_2\vec w$, depois $s\vec u$. O segmento vermelho que desce da ponta de $\vec u$ até $W$ tem comprimento $|h|$, onde $h$ é a altura com sinal de $\vec u$ em relação ao plano.

Porque pode um terceiro vetor acrescentar uma dimensão inteira? Cada combinação de $\vec v$, $\vec w$ e $\vec u$ é um ponto de $W$ deslocado por um múltiplo $s$ de $\vec u$. Assim, o espaço gerado é a união dos planos $W + s\vec u$ para todos os reais $s$. Se $\vec u$ estiver fora de $W$, os planos correspondentes a $s$ e $s + 1$ distam $|h|$. À medida que $s$ percorre os números reais, os planos varrem todo o espaço.

Baixe agora $\vec u$ até ficar apenas um pouco fora do plano. Com os valores iniciais $\vec v = (2, 1, 0)$ e $\vec w = (0, 1, 2)$, $\vec u = (1, 1, 1.01)$ está a cerca de 0.004 de $W$, mas o espaço gerado continua a ser todo o espaço. Chegar a $(0, 0, 1)$ exige $s = 100$: $(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$. Para um alvo fixo fora de $W$, quanto menor for $|h|$, maior terá de ser $|s|$, mas existe sempre solução. Só quando $h$ é exatamente 0 é que todos os planos $W + s\vec u$ coincidem com $W$ e o espaço gerado por $\vec v$, $\vec w$ e $\vec u$ volta a ser $W$.

Vetores são linearmente dependentes se alguma combinação com coeficientes não todos nulos for o vetor nulo. Quando os vetores são não nulos, a página mostra um percurso fechado: os seus múltiplos, unidos ponta com origem, regressam a O. Equivalentemente, um deles é combinação dos restantes. Nenhum par entre $\vec v$, $\vec w$ e $\vec u = (1, 1, 1)$ é paralelo, mas os três são dependentes porque $\vec u$ pertence a $W$:

Um percurso fechado também significa que um ponto tem muitas receitas. Somar um múltiplo não nulo do percurso à receita de T altera os coeficientes, mas não o ponto.

A dimensão do espaço gerado é o maior número de vetores independentes que se podem escolher entre eles.