Combinação linear

Toma dois vetores v e w e dois números a e b. O vetor av + bw é uma combinação linear de v e w com coeficientes a e b: a vezes v, seguido de b vezes w. Os coeficientes podem ser números reais quaisquer. Um número entre 0 e 1 toma parte da seta; um número negativo inverte-lhe o sentido.

Com Livres selecionado, os dois troços são setas azuis finas: a·v a partir de O e depois b·w a partir da sua ponta. A seta azul grossa de O a P é a soma das duas. Os pequenos pontos escuros assinalam receitas com coeficientes inteiros. Se v e w não forem colineares, alterar apenas a move P paralelamente a v, e alterar apenas b move-o paralelamente a w. Assim, a e b são as coordenadas de P na grelha oblíqua de v e w. A região azul-clara contém todos os pontos atingíveis com as receitas permitidas.

Se v e w não forem colineares, cada ponto do plano é uma combinação linear dos dois de uma única maneira. Uma construção mostra porquê. Por P, traça a paralela a w: corta a reta de v num único ponto, que é a·v para um único a. O percurso restante, de a·v até P, segue a direção de w, pelo que é b·w. A opção Paralelas desenha esta construção a amarelo.

Se v e w estiverem numa mesma reta por O, todas as combinações ficam nessa reta e a grelha oblíqua colapsa sobre ela. Os pontos fora da reta são inatingíveis e cada ponto da reta tem infinitas receitas. Com v = (2, 1) e w = −2v, o ponto (4, 2) é 2v + 0w, mas também 0v − 1w e 4v + 1w. Se ambos os vetores forem nulos, só se atinge O.

Agora faz com que os coeficientes somem 1, com a = 1 − μ e b = μ. Então P − v = μ(w − v), pelo que, quando v ≠ w, P percorre a reta pelas duas pontas. Está na ponta de v quando μ = 0, na de w quando μ = 1 e avança proporcionalmente entre ambas. P fica entre as pontas se e só se ambos os pesos forem pelo menos 0. Para lá da ponta de w, o peso 1 − μ de v é negativo.

Quando v e w não são colineares, fixar antes a + b = k coloca P na reta por kv com direção w − v, paralela à reta pelas pontas. A opção Somas iguais desenha estas retas para os inteiros k. Estão igualmente espaçadas e a sua distância a O é proporcional a |k|.

Se v e w não forem colineares, as restrições aos coeficientes dão origem a formas. Com a, b ≥ 0 (Setor angular), as receitas preenchem o ângulo entre as semirretas de v e w. Com 0 ≤ a, b ≤ 1 (Paralelogramo), preenchem o paralelogramo construído sobre v e w. Com a, b ≥ 0 e a + b ≤ 1 (Triângulo), preenchem o triângulo de vértices O e as duas pontas.