Combinazione lineare

Prendi due vettori v e w e due numeri a e b. Il vettore av + bw è una combinazione lineare di v e w con coefficienti a e b: si percorre prima a·v e poi b·w. I coefficienti possono essere numeri reali qualsiasi. Un numero tra 0 e 1 prende solo una parte della freccia; un numero negativo ne inverte il verso.

Con Liberi selezionato, i due tratti sono frecce blu sottili: a·v da O e poi b·w dalla sua punta. La freccia blu spessa da O a P è la loro somma. I piccoli punti scuri segnano le ricette con coefficienti interi. Quando v e w non sono collineari, cambiare solo a muove P parallelamente a v, e cambiare solo b lo muove parallelamente a w. Quindi a e b sono le coordinate di P nella griglia obliqua di v e w. La zona azzurra chiara contiene tutti i punti raggiungibili con le ricette ammesse.

Se v e w non sono collineari, ogni punto del piano si esprime in un solo modo come loro combinazione lineare. Una costruzione mostra perché. Per P traccia la parallela a w: incontra la retta di v in un solo punto, uguale ad a·v per un unico a. Il resto del percorso, da a·v a P, segue w, quindi è b·w. L’opzione Parallele disegna questa costruzione in giallo.

Se v e w giacciono sulla stessa retta per O, tutte le combinazioni restano su quella retta e la griglia obliqua vi si schiaccia. I punti esterni sono irraggiungibili; ogni punto della retta ha infinite ricette. Con v = (2, 1) e w = −2v, il punto (4, 2) è 2v + 0w, ma anche 0v − 1w e 4v + 1w. Se entrambi i vettori sono nulli, si raggiunge soltanto O.

Ora imponi che i coefficienti sommino a 1, con a = 1 − μ e b = μ. Allora P − v = μ(w − v), perciò, quando v ≠ w, P percorre la retta per le due punte. Si trova sulla punta di v per μ = 0, su quella di w per μ = 1 e si sposta proporzionalmente tra le due. P è tra le punte se e solo se entrambi i pesi sono almeno 0. Oltre la punta di w, il peso 1 − μ di v è negativo.

Quando v e w non sono collineari, fissare invece a + b = k pone P sulla retta per kv con direzione w − v, parallela alla retta per le punte. L’opzione Somme uguali disegna queste rette per i valori interi di k. Sono equidistanti e la loro distanza da O è proporzionale a |k|.

Se v e w non sono collineari, i vincoli sui coefficienti danno luogo a figure. Con a, b ≥ 0 (Settore angolare), le ricette riempiono l’angolo tra le semirette di v e w. Con 0 ≤ a, b ≤ 1 (Parallelogramma), riempiono il parallelogramma costruito su v e w. Con a, b ≥ 0 e a + b ≤ 1 (Triangolo), riempiono il triangolo con vertici O e le due punte.