Sistema di equazioni lineari

Un sistema di equazioni lineari cerca valori delle incognite che rendano vere più equazioni lineari contemporaneamente. Raccogli i coefficienti in una matrice A, le incognite in un vettore x e i secondi membri in un vettore b: l’intero sistema diventa Ax = b. Questa pagina usa sistemi quadrati, due equazioni in x e y oppure tre in x, y e z, e disegna ogni sistema due volte: per righe e per colonne.

Per righe, un’equazione in x e y con almeno un coefficiente diverso da 0 è una retta, e una soluzione è un punto che soddisfa tutte le equazioni. Per colonne, le stesse equazioni dicono che x copie della prima colonna a₁ più y copie della seconda colonna a₂ danno b. Quindi entrambe le viste mostrano la stessa coppia di numeri: l’intersezione a sinistra è la ricetta per b a destra. La vista di destra ha gli assi ① e ②, uno per equazione, quindi i suoi punti sono secondi membri, non valori di x e y.

Un sistema lineare ha esattamente una soluzione, nessuna oppure infinite. Se det A ≠ 0, la soluzione è esattamente una, qualunque sia b. Se det A = 0, le righe sono dipendenti e lo sono anche le colonne, quindi le due viste degenerano nello stesso momento. A sinistra le rette diventano parallele o coincidono, salvo che un’equazione abbia perso tutti i suoi coefficienti. A destra le colonne cadono su una stessa retta, perciò alcuni secondi membri non sono più raggiungibili. Se b è uno di questi, le equazioni si contraddicono e l’eliminazione termina con un’equazione impossibile come 0 = 1. Altrimenti ci sono infinite soluzioni.

Il comando Elimina esegue l’eliminazione di Gauss–Jordan un passo alla volta. Trasforma il sistema in uno più semplice con esattamente le stesse soluzioni. Ogni passo aggiunge a un’equazione un multiplo di un’altra, moltiplica un’equazione per un numero non nullo oppure scambia due equazioni. Ogni passo è reversibile, quindi non si perde né si aggiunge alcuna soluzione. Quando si aggiunge a un’equazione un multiplo di un’altra e le rette si incontrano, la retta modificata ruota attorno all’intersezione, quindi la soluzione non si muove. Se le rette sono parallele, invece, la retta scivola verso l’infinito e lascia 0 = c. Se coincidono, resta ferma e diventa 0 = 0. Nella vista per colonne lo stesso passo è uno scorrimento e la ricetta resta invariata. Gli scambi e le moltiplicazioni per numeri negativi appaiono come salti, perché eseguirli gradualmente potrebbe far passare per sistemi con altre soluzioni.

Una soluzione unica può comunque essere molto sensibile. Quando due rette sono quasi parallele, cambiare un secondo membro di 0.01 può spostare molto l’intersezione.

Con tre incognite, un’equazione con almeno un coefficiente diverso da 0 è un piano. Tre piani possono incontrarsi in un punto, lungo una retta, in un intero piano oppure non avere punti comuni. Possono non avere punti comuni anche se nessuna coppia è parallela: ogni coppia si incontra allora in una retta e le tre rette corrono parallele, come gli spigoli di un prisma. Le due viste 3D ruotano insieme solo per facilitarne il confronto, non perché i loro assi coincidano.