線性聯立方程式

線性聯立方程式要找出能同時滿足多條線性方程式的未知數值。把係數收進矩陣A、未知數收進向量x、各式右側常數收進向量b，整組方程式就成了Ax = b。本頁處理方形系統：兩條方程式配x、y兩個未知數，或三條方程式配x、y、z三個未知數。每組都畫兩次，一幅按橫列看，一幅按直行看。

按橫列看，含x、y且至少有一個係數不為0的方程式是一條直線；解是滿足每條方程式的點。按直行看，同樣的方程式表示：第一個直行向量a₁的x倍，加上第二個直行向量a₂的y倍，等於b。因此兩幅圖呈現的是同一對數值：左邊的交點，就是右邊組合出b的方法。右圖的軸是①與②，各對應一條方程式，所以圖中的點表示右側常數，而不是x、y的值。

線性聯立方程式可能恰有一組解、無解，或有無限多組解。若det A ≠ 0，不論b為何，都恰有一組解。若det A = 0，橫列向量與直行向量都線性相依，兩幅圖便同時退化。左邊的直線變得平行或重合，除非某條方程式的所有係數都已變成0；右邊的直行向量則落在同一直線上，於是有些右側向量再也無法組合出來。若b就是其中之一，方程式彼此矛盾，消去最後會得到0 = 1這類不可能成立的式子。否則就有無限多組解。

消去會逐步執行高斯–喬登消去法，把聯立方程式化成較簡單、但解完全相同的形式。每一步會將某條方程式的倍數加到另一條、把某條方程式乘上非零數，或交換兩條方程式。每一步都能還原，因此不會少掉或增加任何解。將一條方程式的倍數加到另一條時，若兩線相交，改變的直線會繞著交點旋轉，解始終不動。若兩線平行，它就移向無限遠，留下0 = c；若兩線重合，它便留在原位並成為0 = 0。在直行圖中，同一步是一次剪切，組合方式保持不變。交換與乘上負數則以跳動呈現，因為若連續變化，途中可能經過解不同的系統。

唯一解仍可能很敏感。當兩線幾乎平行，只將某個右側常數改變0.01，就可能讓交點移動很遠。

有三個未知數時，至少一個係數不為0的方程式是一個平面。三個平面的共同交集可能是一點、一條直線、整個平面，也可能不存在。即使任兩個平面都不平行，三者仍可能沒有共同點：每一對平面交於一條直線，三條線像柱體的側稜般並排延伸。兩幅3D視圖一起轉動只是為了方便比較，並不是因為它們的座標軸相同。